1 . 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.

(1)当时，求点绕转动的弧度数；
(2)分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；
(3)求的最小值.

2 . 在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点．

(1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
(2)若，求x；
(3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标．

3 . 如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动时这两质点间的距离为．
   
(1)求的解析式；
(2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间（单位：s）．

4 . 如图，是坐标原点，，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限；

(1)证明：；
（提示：设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和）
(2)求的范围．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：交x轴于点K，过原点的动直线l上有两点P，Q（P，Q分别在第一、三象限），，，A，B为垂足.已知（为大于零的常数），设，，.

(1)用表示，；
(2)当时，求△PQK面积的最大值，及取得最大值时的值.

6 . 已知角，且点为其终边上异于原点的点.
(1)请用三角函数的定义证明：；
(2)若点满足，求的最小值.

7 . 如图，一个半径为的筒车按逆时针方向匀速转动，2分钟转动一圈，水车的轴心O到水面的距离为，筒车上均匀分布了24个盛水筒，当盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，记盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）．

(1)求d与时间（单位：s）的关系式；
(2)当盛水筒P刚浮出水面时，记最高点处的盛水筒为，求一圈内P到水面的距离与Q到水面的距离之和大于的时间．

8 . 如图，圆C：与圆O：内切于点A，当圆C沿圆O逆时针方向无滑动地滚动一周时，圆C上的定点P（开始在点A）运动的轨迹是一个三叶轮.已知圆C上的定点P按这种运动方式从点A开始运动（B是两圆的切点）.

(1)若，求点P的坐标；
(2)若，求点P的轨迹关于的参数方程.

9 . 在平面直角坐标系xOy中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A、B，角的始边为OA，终边与单位圆交于x轴下方一点P．

(1)如图，若，求点Р的坐标；
(2)若点P的横坐标为，求的值．

10 . 已知．
(1)求；
(2)若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，求的值．