1 . 在中，，，若D是AB的中点，则；若D是AB的一个三等分点，则；若D是AB的一个四等分点，则．
       
(1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．
(2)如图②，若，，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，CB分别交于点P，Q．
①利用（1）的结论，用，表示；
②设，，求证：为定值．

2 . 在中，点P为所在平面内一点.
(1)若点P在边BC上，且，用，表示；
(2)若点P是的重心.
①求证：；
②若，求.

3 . 如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点.
   
(1)求的最大值；
(2)求证：为定值；
(3)对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值.

4 . 在三角形ABC中，，E为AC中点，，线段AD与BE交于点M.
(1)用向量和表示；
(2)若.在直线BC上是否存在点H，使得线段AH长度为定值，若存在，则求出线段AH的长度，若不存在，请说明理由.

5 . 已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．

(1)若点O满足，证明：．
(2)求的最小值．

6 . 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.

(1)若，试用，和实数表示；
(2)试用，表示；
(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.

7 . 平面内给定三个向量，且．

(1)求实数k关于n的表达式；
(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．

8 . 计算:
(1)
(2)

9 . 已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在的平面上的一点P，满足（m为常数）．

(1)如图，若四边形OABP为平行四边形，求m的值；
(2)若，线段AB与OP交于点D，试求当△OPB为直角三角形时，的值．

10 . 数学探究：用向量法研究三角形的性质，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，向量运算与几何图形性质的这种内在联系，是我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便，简捷呢？请求解下列问题：

(1)用向量方法证明：三条中线交于一点（称为三角形的重心）
(2)设三顶点的坐标分别为求重心的坐标.