1 . 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
(1)求的范围
(2)求的最小值，
(3)若，求的最小值.

2 . 如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.

   

(1)用和表示；
(2)设，求的值；
(3)设，证明：.

3 . 如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心.

(1)若，，，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，若，求的最大值.

4 . 如图，四边形中，，三角形为正三角形.

(1)当时，设，求的值；
(2)设，则当为多少时.
①四边形的面积最大，最大值是多少？
②线段的长最大，最大值是多少？

5 . 如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点．

(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值．

6 . 已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.

(1)证明：三点共线的充要条件是；
(2)如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.

7 . 已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．

(1)若点O满足，证明：．
(2)求的最小值．

8 . 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.

(1)若，试用，和实数表示；
(2)试用，表示；
(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.

9 . 如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.

   

(1)若D是BC中点，求；
(2)若点P满足，
①求的取值范围；
②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值.

10 . 如图，在中，为边上一点，且．

(1)设，求实数、的值；
(2)若，求的值；
(3)设点满足，求证：．