1 . 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
、
的距离之比为定值
（
且
）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系
中，
、
，点
满足
，则
的最小值为___________ .
、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为
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2023-08-02更新
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1016次组卷
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10卷引用：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）2.1 圆的方程（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）第2章 圆与方程章末题型归纳总结（2）内蒙古自治区优质高中联考2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（期中）数学试题吉林省白山市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题江西省上饶市广丰区南山中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（已下线）专题04 与圆有关的轨迹方程问题【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）期末精确押题之填空题(40题）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）
名校
解题方法
2 . 已知向量
，
满足
，
，
，则
_________ .
，满足，，，则
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2023-03-03更新
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5699次组卷
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24卷引用：黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题上海市虹口区2022届高三二模数学试题安徽省宣城市第二中学2021-2022学年高二下学期期末模拟数学试题云南省曲靖市第二中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（已下线）第16练 平面向量的概念和运算（已下线）第11讲 平面向量-4（已下线）专题13 平面向量(模拟练)-1（已下线）专题08平面向量及其应用必考题型分类训练-2向量的数量积（已下线）第05讲 平面向量的数量积（一）（已下线）6.2 平面向量的运算（精讲）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）6.2 平面向量的运算（精练）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）北京第二十二中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题上海市位育中学2023届高三下学期开学考试数学试题天津市第一百中学2022-2023学年高一下学期过程性诊断(1)数学试题北京理工大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题上海市奉贤区致远高级中学2023届高三下学期3月教学评估数学试题河南省开封市扬坤高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题江苏省南京大学附属中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题河南省新乡市原阳县第三高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考测试数学试题江苏省徐州市第一中学2022-2023学年高一下学期月考数学试题四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高三下学期3月月考数学（文）试题（已下线）核心考点01平面向量及其应用（3）云南省曲靖市第一中学2024届高三上学期阶段性检测（四）数学试题
解题方法
3 . 已知
，
，
，则
________ ．
，，，则
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4 . 设
，
为单位向量，满足
，
，
，设
，
的夹角为
，则
的最小值为______ ．
，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为
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2021-03-19更新
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2360次组卷
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9卷引用：东北三省三校（哈师大附中）2021届高三四模数学（理）试题
东北三省三校（哈师大附中）2021届高三四模数学（理）试题（已下线）专题06 平面向量（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（文理通用）（已下线）专题6.6 第六章 《平面向量》综合测试卷（B卷提升篇）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷(新教材人教A版，浙江专用）（已下线）押第13题平面向量-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）（已下线）数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】 （5月23日）（已下线）预测06 平面向量-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】（已下线）专题07 平面向量-五年（2017-2021）高考数学真题分项汇编（文科+理科）（已下线）第8章 平面向量章节考点分类复习导学案（已下线）专题21 平面向量中最值、范围问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】
名校
解题方法
5 . 若非零向量
、
，满足
，
，则与的夹角为___________ .
、，满足，，则与的夹角为
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2022-08-21更新
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1204次组卷
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22卷引用：黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高三上学期阶段考试数学(文科)试题
黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高三上学期阶段考试数学(文科)试题2015-2016学年江西省十三校高一下学期期中考试数学试卷宁夏育才中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题福建省闽侯第四中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考（9月）数学（文）试题2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末考试数学试题2020届浙江省绍兴市嵊州市崇仁中学高三下学期3月模拟考试数学试题（已下线）考点16 平面向量数量积及应用-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）山东省济宁邹城市第一中学2020届高三下学期数学3月自测试题新疆呼图壁县第一中学2021届高三上学期第二次月考数学（文）试题湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2020-2021学年高三上学期11月摸底考试数学试题（已下线）2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（23）（已下线）必刷卷02-2021年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用）湖南省长沙市雅礼中学2021届高三下学期月考(六)数学试题（已下线）预测06 平面向量-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】天津市武清区英华国际学校2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题苏教版(2019) 必修第二册 必杀技 第9章 平面向量 9.2 向量运算 9.2.3 向量的数量积（已下线）第36讲 平面向量的数量积四川省泸县第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（文）试题1.5.1 向量的数量积 课时作业上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题重庆市育才中学校2023届高三下学期开学考试数学试题
名校
解题方法
6 . 设向量
满足
，则
_____
满足 ，则
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2022-03-23更新
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583次组卷
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14卷引用：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题贵州黔东南州2017届高三高考第一次模拟考试文科数学试题【全国百强校】福建省福州第三中学2017-2018学年高一下学期（实验班）期末考试数学试题【市级联考】广西钦州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题【市级联考】贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷文科数学试题2019年上海市复旦附中浦东分校高三下学期3月质量监控数学试题浙江省台州中学2016-2017学年高一下学期第一次统练数学试题（已下线）8.1.2向量数量积的运算律练习(1）上海市奉贤中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题浙江省台州市新桥中学2020-2021学年高三上学期12月阶段性考试数学试题（已下线）模块08 平面向量的坐标表示-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）（已下线）6.2.4向量的数量积（导学案）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)山东省济南市实验中学2021-2022学年高一下学期04月月考数学试题四川省遂宁市第二中学校2023届高三第七次模拟理科数学试题
7 . 如图，在
中，
是
的中点，
，
是
上的两个三等分点
，
，则
的值是________ .
中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是
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名校
8 . 已知向量
的夹角为
,
,
,则
的值是________ .
的夹角为,,,则的值是
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2020-02-12更新
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216次组卷
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2卷引用：黑龙江省牡丹江市第三中学2021-2022学年高三上学期第三次月考数学（理）试题
名校
9 . 已知两个非零单位向量
、
的夹角为.
①不存在，使
；
②
；
③
；
④在方向上的投影为
.
则上述结论正确的序号是________ （请将所有正确结论都填在横线上）
、的夹角为.①不存在
，使；②
；③
；④
在方向上的投影为.则上述结论正确的序号是
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2019-10-09更新
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852次组卷
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5卷引用：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三上学期第二次调研考试数学（文）试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三上学期第二次调研考试数学（文）试题2020届山东省实验中学（中心校区）高三10月调研考试数学试题新疆喀什第二中学2022届高三下学期开学考试数学试题沪教版(2020) 必修第二册 单元训练 第8章 向量的数量积 （B卷）（已下线）6.2.4向量的数量积【第二课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
名校
10 . 已知向量与向量
的夹角为120°，若向量
且
，则
的值为_______ .
与向量的夹角为120°，若向量且，则的值为
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2019-11-14更新
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381次组卷
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6卷引用：黑龙江省七台河市第一中学2019-2020学年高一下学期数学4月线上考试试题
