名校
解题方法
1 . 我们把由平面内夹角成
的两条数轴
，
构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，
分别为
正方向上的单位向量，若向量
，则把实数对
叫做向量
的“@未来坐标”，记
，已知
，
分别为向量
，
的“@未来坐标”，若向量，的“@未来坐标”分别为
，
，则向量，的夹角的余弦值为______ .
的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知，分别为向量，的“@未来坐标”，若向量，的“@未来坐标”分别为，，则向量，的夹角的余弦值为
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解题方法
2 . 平面上有一组互不相等的单位向量
，
，…，
，若存在单位向量满足
，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知
，向量是向量组
，，
的平衡向量，当
取得最大值时，
的值为______ ．
，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为
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解题方法
3 . 已知，满足
，
，则
____________ .
，满足，，则
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名校
解题方法
4 . 如图，在
中，
，
，P为CD上一点，且满足
，若
，则
的最小值为__________ .
中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为
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2023-11-09更新
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937次组卷
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3卷引用：天津市第二南开学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题
天津市第二南开学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三上学期第三次月考数学试题（已下线）第13讲 拓展一：平面向量综合问题-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）
解题方法
5 . 
，
，且
，则
_________ .
，，且，则
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名校
解题方法
6 . 已知同一平面内的单位向量，，
，满足
，则
______ .
，，，满足，则
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2023-11-06更新
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1076次组卷
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3卷引用：广东省佛山市南海区艺术高级中学2024届高三上学期期中数学试题
名校
解题方法
7 . 已知向量
与
的夹角为
，则
__________ .
与的夹角为，则
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2023-11-02更新
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453次组卷
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4卷引用：新疆兵团地州学校2024届高三上学期期中联考数学试题
解题方法
8 . 已知非零单位向量，满足
，则与
的夹角余弦值为______ .
，满足，则与的夹角余弦值为
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名校
解题方法
9 . 已知向量
，满足
，
，且
，则夹角的余弦值为___________ .
，满足，，且，则夹角的余弦值为
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2023-01-18更新
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532次组卷
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3卷引用：陕西省西安市2023-2024学年高三上学期期末模拟理科数学试题01
陕西省西安市2023-2024学年高三上学期期末模拟理科数学试题01河北省唐山市开滦第二中学2023届高三上学期期末数学试题（已下线）期末专项01 平面向量-期末高分必刷题型（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
10 . 已知向量，满足
，
，且
，则
_________ .
，满足，，且，则
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2023-04-05更新
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846次组卷
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7卷引用：河北省唐山市开滦第一中学2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题
河北省唐山市开滦第一中学2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题（已下线）河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三文科数学试题变式题11-15（已下线）第44练 计算基础综合训练4（已下线）江西省九所重点中学2023届高三第二次联考联合考试数学（文）试题变式题11-15四川省阆中中学校2023届高三全景模拟卷（一）理科数学试题辽宁省本溪市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题河北省唐县第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
