1 . 请在①；②；③这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题（选择多个条件并分别证明的按前1个评分）.命题：已知数列满足，若 ，则当时，恒成立.

2 . 以下各说法中：
①已知在边长为的等边三角形中， 则；
②若两非零向量，若，则的夹角为锐角；
③已知大小分别为与的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角的余弦值为;
④已知数列的通项，其前项和为，则使最小的值为.
其中正确说法的有________ .（填写所有正确的序号）

3 . 已知下列四个命题:
①等差数列一定是单调数列;
②等差数列的前项和构成的数列一定不是单调数列;
③已知等比数列的公比为,则“是单调递减数列”的充要条件是“”;
④记等差数列的前项和为,若,,则数列的最大值一定在处达到.
其中正确的命题有___________.（填写所有正确的命题的序号）

4 . 在数列中，，且.记，，则下列判断正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）
①数列为等比例数列；②存在正整数，使得能被11整除；
③；④能被51整除.

5 . 数列{a_n}的前n项和是，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：…，…有如下运算和结论：
①；
②；
③数列a₁，a₂＋a ₃，a ₄＋a ₅＋a ₆，a ₇＋a ₈＋a ₉＋a ₁₀，…是等比数列；
④数列a ₁，a ₂＋a ₃，a ₄＋a ₅＋a ₆，a ₇＋a ₈＋a ₉＋a ₁₀，…的前n项和；
在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________．

6 . 数列的前n项和是，若数列的各项按如下规则排列：有如下运算和结论：
①；
②；
③数列，，，，…是等比数列；
④数列，，，，…的前n项和；
⑤若存在正整数k，使，则．
在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________．

8 . 龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.

9 . （1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出适当的图形；

（2）下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在下图四个三角形中，阴影部分三角形的个数依次构成数列的前四项，依此阴影部分方案继续下去，求阴影部分三角形个数的通项公式；

（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为（，），设，求数列的前n项和.