1 . 这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列；
(2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和：
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值．

3 . 已知数列满足递推式，且，数列满足，
且前项和，数列的通项公式为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若数列满足：，证明：．

4 . 在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同均为，设蚂蚁移动次还在底面内记为，求蚂蚁移动5次后还在底面的概率为________；

5 . 已知函数，数列满足正整数
(1)求的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：．

7 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和．

8 . 现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏．
(1)将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列；
(2)将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．

10 . 对于一组向量（，且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“H向量”．
(1)设，若是向量组的“H向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，向量组是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由；
(3)已知均是向量组的“H向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．