1 . 已知数列，满足，，记.

(1)试证明数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式．

2 . 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．
(1)求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；
(2)求证：为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．

3 . 已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.

4 . 已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．

5 . 已知数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n.
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

6 . 已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，证明：．

7 . 数列{a_n}中，，
（1）求证：数列{a_n+n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式.

8 . 已知数列满足，，数列
（1）求证：等差数列；
（2）求数列的通项公式.

9 . 已知各项均为正数的数列，满足().
（1）求证：为等比数列，并写出其通项公式；
（2）设()，求数列的前项和.

10 . 已知数列的前项和为，且对于任意正整数，有成等差数列.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足，求数列的前项和.