1 . 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且.
(1)求与；
(2)证明：.

2 . 设数列的前项和为，已知且满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

3 . 在数列中，.
（1）求证：数列为等差数列;
（2）设数列满足，求的通项公式及的前项和.

4 . 等差数列的前项和为，公差，已知，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记点，，，求证：的面积为.

5 . 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足．
①求证：是数列的母函数；
②求数列的前项和．
(2)已知是数列的母函数，且，若数列的前项和为，求证：

6 . 设是等差数列的前项和，若公差，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．

7 . 已知数列，，满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，对一切都成立，求数列的通项公式.

8 . 设是数列的前项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．

9 . 已知等比数列是递减数列，，数列满足，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若对任意，不等式总成立，求实数的最大值.