1 . 在数列中，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．

2 . 已知数列{a_n}满足，，，成等差数列.
（1）证明:数列是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）记{a_n}的前n项和为S_n，.求证:

3 . 已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和.

4 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.

5 . 已知数列满足，．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，设为数列的前项和，证明：．

6 . 设是数列的前n项和，已知，
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：当时，.

7 . 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前n项和为．
(1)求；
(2)是否存在不同的实数，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
(3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．

8 . 已知数列的前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)证明：能被5整除；
(3)证明：.

9 . 在数列中，已知，，记．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记______，数列的前n项和为，求．
在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

10 . 已知数列的前项和为，且，．
(1)证明：是等比数列．
(2)若，求数列的前项和．