1 . 数列极限理论是数学中重要的理论之一,它研究的是数列中数值的变化趋势和性质.数列极限概念作为微积分的基础概念,它的产生与建立对微积分理论的创立有着重要的意义.请认真理解下述3个概念.
概念1:对无穷数列,称为数列的各项和.
概念2:对一个定义域为正整数集的函数,如果当趋于正无穷大时,的值无限趋近于一个常数,即当时,,就说常数是的极限值,记为.如:,当时,由反比例函数的性质可知,即记为.当(为常数)时,.
概念3:对无穷数列,其各项和为,若当时,(为常数),即,则称该数列的和是收敛的,为其各项和的极限;若当时,其各项和的极限不存在,则称该数列的和是发散的,其各项和的极限不存在.
试根据以上概念,解决下列问题:
(1)在无穷数列中,,求数列的各项和的极限值;
(2)在数列中,,讨论数列的和是收敛的还是发散的;
(3)在数列中,,求证:数列的和是发散的.
概念1:对无穷数列,称为数列的各项和.
概念2:对一个定义域为正整数集的函数,如果当趋于正无穷大时,的值无限趋近于一个常数,即当时,,就说常数是的极限值,记为.如:,当时,由反比例函数的性质可知,即记为.当(为常数)时,.
概念3:对无穷数列,其各项和为,若当时,(为常数),即,则称该数列的和是收敛的,为其各项和的极限;若当时,其各项和的极限不存在,则称该数列的和是发散的,其各项和的极限不存在.
试根据以上概念,解决下列问题:
(1)在无穷数列中,,求数列的各项和的极限值;
(2)在数列中,,讨论数列的和是收敛的还是发散的;
(3)在数列中,,求证:数列的和是发散的.
您最近一年使用:0次
2 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
您最近一年使用:0次
3 . 与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割,比如A4纸中就包含着白银分割率.若一个数列从0和1开始,以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数:0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,…,则随着n趋于无穷大,其前一项与后一项的比值越来越接近白银分割率.记该数列为,其前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.() | B. |
C. | D. |
您最近一年使用:0次
4 . 下列命题中正确的选项有( )个
①已知数列为等比数列,为其前项和,则、、成等比数列
②已知数列为等比数列,若存在,则
③平面上到两定点距离之和为定长的点的轨迹是椭圆
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
您最近一年使用:0次
解题方法
5 . 如图,等边的边长为,取等边各边的中点,作第2个等边,然后再取等边各边的中点,作第3个等边,依此方法一直继续下去.设等边的面积为,后继各等边三角形的面积依次为,则下列选项正确的是( )
A. |
B.是和的等比中项 |
C.从等边开始,连续5个等边三角形的面积之和为 |
D.如果这个作图过程一直继续下去,那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于 |
您最近一年使用:0次
2023-07-06更新
|
369次组卷
|
2卷引用:广东省广州市七区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
名校
6 . 对于以下结论:
①若公比,那么等比数列前n项和存在极限;
②为数列最大的项,那么对任意的n(,,)都成立;
③函数的导数为,若,那么为函数的极值点;
④函数的导数为,若恒成立,那么是严格增函数.
正确的有( )
①若公比,那么等比数列前n项和存在极限;
②为数列最大的项,那么对任意的n(,,)都成立;
③函数的导数为,若,那么为函数的极值点;
④函数的导数为,若恒成立,那么是严格增函数.
正确的有( )
A.0个 | B.1个 | C.2个 | D.3个 |
您最近一年使用:0次
名校
7 . 如图所示,已知,,,作以为直角顶点的等腰直角,作点和点的中点,继续作以为直角顶点的等腰直角,如此继续作中点,作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是( )
A.所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列 |
B.第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为 |
C.点的纵坐标为 |
D.若记第个等腰直角三角形的面积为,则 |
您最近一年使用:0次
解题方法
8 . 佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列.随着项数越来越大,其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数,该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系.记佩尔数列为,且,,.则( )
A. | B.数列是等比数列 |
C. | D.白银比为 |
您最近一年使用:0次
2023-04-24更新
|
1069次组卷
|
2卷引用:江苏省决胜新高考2023届高三下学期4月大联考数学试题
名校
9 . 如图,有一列曲线,,……,,……,且1是边长为1的等边三角形,是对进行如下操作而得到:将曲线的每条边进行三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到,记曲线的边数为,周长为,围成的面积为,则下列说法正确的是( )
A.数列{}是首项为3,公比为4的等比数列 |
B.数列{}是首项为3,公比为的等比数列 |
C.数列是首项为,公比为的等比数列 |
D.当n无限增大时,趋近于定值 |
您最近一年使用:0次
2023-03-28更新
|
1193次组卷
|
5卷引用:湖南省常德市2023届高三下学期一模数学试题
湖南省常德市2023届高三下学期一模数学试题辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题江西省上饶市民校考试联盟2022-2023学年高二下学期阶段测试(四)数学试题(已下线)专题6 等比数列的判断(证明)方法 微点2 通项公式法、前n项和公式法(已下线)模块四 专题1 期中重组篇(辽宁卷)(人教B版高二下学期)
10 . 下列用递推公式表示的数列中,使得成立的是( )
A. | B. |
C. | D. |
您最近一年使用:0次