1 . 若数列
和
的项数均为
，则将数列和的距离定义为
.
(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
(2)记A为满足递推关系
的所有数列的集合，数列和
为A中的两个元素，且项数均为.若
，
，数列和的距离
，求m的最大值；
(3)记S是所有7项数列（其中
，
或1）的集合，
，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
和的项数均为，则将数列和的距离定义为.(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
(2)记A为满足递推关系
的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；(3)记S是所有7项数列
（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
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解题方法
2 . 将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，此时数列
中剩下的项构成数列
；再将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，剩下的项构成数列
；…．如此操作下去，将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，剩下的项构成数列
．
(1)分别写出数列
的前2项；
(2)记数列
的第
项为
．求证：当
时，
；
(3)若
，求
的值．
中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．(1)分别写出数列
的前2项；(2)记数列
的第项为．求证：当时，；(3)若
，求的值．
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3 . 对于数列
，如果存在正整数
，使得对任意
，都有
，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列
，
满足：存在正整数
，对每一个
，都有
，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①
；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：
；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是
和
，求的最大值．
，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①
；②(2)若
和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；(3)若
和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
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22-23高三下·北京·阶段练习
名校
解题方法
4 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于
，
，都存在
，使得
，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，
，2，3，…；
②
，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且
，求证：集合
为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，，2，3，…；②
，，2，3，…．(2)若数列
满足性质P，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列
满足性质P，求数列的通项公式．
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2024-02-10更新
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1380次组卷
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6卷引用：北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题
（已下线）北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题湖南省2024届高三数学新改革提高训练一（九省联考题型）2024届高三新改革数学模拟预测训练一（九省联考题型）湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题（已下线）压轴题05数列压轴题15题型汇总-1北京市清华大学附属中学2023届高三下学期4月月考数学试题
5 . 若有穷数列
满足：
，则称此数列具有性质
.
(1)若数列
具有性质，求
的值；
(2)设数列A具有性质
，且
为奇数，当
时，存在正整数，使得
，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足
（
为常数）的数列A构成的集合记作
.求出所有的，使得对任意给定的
，当数列
时，数列A中一定有相同的两项，即存在
.
满足：，则称此数列具有性质.(1)若数列
具有性质，求的值；(2)设数列A具有性质
，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；(3)把具有性质
，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
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2024-01-19更新
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1435次组卷
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3卷引用：北京市东城区2024届高三上学期期末统一检测数学试题
名校
解题方法
6 . 若数列满足：
，且，则称为一个
数列．对于一个数列，若数列满足：
，且
，则称为的伴随数列．
(1)若数列中，
，写出其伴随数列中
的值；
(2)若为一个数列，为的伴随数列
①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件；
②求
的最大值．
满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列．(1)若
数列中，，写出其伴随数列中的值；(2)若
为一个数列，为的伴随数列①证明：“
为常数列”是“为等比数列的充要条件；②求
的最大值．
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2023-12-11更新
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1258次组卷
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2卷引用：广东省2024届高三数学新改革适应性训练一（九省联考题型）
22-23高一下·上海浦东新·阶段练习
名校
7 . 对于数列
，如果存在一个正整数，使得对任意的
都有
成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当
时是周期为1的周期数列，当
时
是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足
不同时为0
，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和
；
(2)设数列的前项和为
，且
.
①若
，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若
，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列满足
，数列的前项和为，试问是否存在
，使对任意的
都有
成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.
，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列.(1)设数列
满足不同时为0，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和；(2)设数列
的前项和为，且.①若
，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；②若
，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；(3)设数列
满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.
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22-23高三上·北京海淀·期末
名校
8 . 已知
为实数，数列满足
.
(1)当
和
时，分别写出数列的前5项；
(2)证明：当
时，存在正整数，使得
；
(3)当
时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和
？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.
为实数，数列满足.(1)当
和时，分别写出数列的前5项；(2)证明：当
时，存在正整数，使得；(3)当
时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.
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