1 . 已知数列的前项和，数列满足：．
(1)证明：是等比数列；
(2)设数列的前项和为，且，求；
(3)设数列满足：．证明：．

2 . 已知数列满足：．
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．

3 . 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质P，且，，求的值；
(2)若，求证：数列具有性质P；
(3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围.

4 . 已知正项等比数列满足，数列的前项和为，当时，.
(1)求的通项公式：
(2)证明是等差数列，并求；
(3)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.

5 . 已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.

6 . 已知数列为正项等比数列，数列满足，，．
(1)求；
(2)设的前n项和为，证明：．

7 . 设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且满足__________.条件①：；条件②：；条件③：.请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前项和.
（参考公式：）

8 . 已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求，；
(2)设，数列的前项和为，求证：．

9 . 已知数列满足，，令
(1)求证：是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求.

10 . 已知数列满足：为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：.