解题方法
1 . 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组
表示；三维空间向盘可用三元有序数组
表示．一般地，
维空间向量用元有序数组
表示，其中
称为空间向量的第
个分量，为这个分量的下标．对于
维空间向量，定义集合
．记
的元素的个数为
（约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量
，求
及
；
(2)对于空间向量．若
，求证：
，若
，则
；
(3)若空间向量
的坐标满足
，当
时，求证：
．
表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．(1)若空间向量
，求及；(2)对于空间向量
．若，求证：，若，则；(3)若空间向量
的坐标满足，当时，求证：．
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2 . 已知正项数列
的前项和为
，且
.
(1)求
和
的值，并求出数列的通项公式；
(2)证明：
；
(3)设
，求
的值（其中
表示不超过
的最大整数）.
的前项和为，且.(1)求
和的值，并求出数列的通项公式；(2)证明：
；(3)设
，求的值（其中表示不超过的最大整数）.
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3 . 已知正数数列
满足
，且
.（函数
求导次可用
表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的
，
，都有
.
满足，且.（函数求导次可用表示）(1)求
的通项公式.(2)求证：对任意的
，，都有.
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2023-06-12更新
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577次组卷
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4卷引用：湖南省永州市第一中学2024届高三上学期第一次月考数学试题
湖南省永州市第一中学2024届高三上学期第一次月考数学试题广东省广州市华南师范大学附属中学2023届高三下学期5月月考数学试题（已下线）重难点突破08 证明不等式问题（十三大题型）（已下线）专题10 数列不等式的放缩问题 （练习）
4 . 已知数列中，，
，
（
，
）.
(1)求数列的通项公式；
(2)为数列的前n项和，设
，
是数列
的前n项和，求证：
.
中，，，（，）.(1)求数列
的通项公式；(2)
为数列的前n项和，设，是数列的前n项和，求证：.
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5 . 设数列满足
，且
.
(1)求证：数列
为等差数列，并求的通项公式；
(2)设
，求数列
的前项和.
满足，且.(1)求证：数列
为等差数列，并求的通项公式；(2)设
，求数列的前项和.
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2022-10-07更新
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1930次组卷
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6卷引用：湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题江苏省南京市第十三中学2022-2023学年高三上学期学情调研四数学试题陕西省宝鸡市、汉中市部分校2022-2023学年高三上学期11月期中联考文科数学试题（已下线）江苏省盐城市、南京市2022届高三上学期1月第一次模拟考试数学试题变式题17-22（已下线）第6讲 数列的通项公式的11种题型总结（1）（已下线）微考点4-2 新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结
6 . 已知数列满足，且
，是
的前n项和．
(1)求；
(2)若为数列
的前n项和，求证：
．
满足，且，是的前n项和．(1)求
；(2)若
为数列的前n项和，求证：．
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2022-06-09更新
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2151次组卷
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5卷引用：湖南省岳阳市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
湖南省岳阳市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高二下学期第一次验收考试数学试题（已下线）2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题9-12题（已下线）专题26 数列的通项公式-6（已下线）2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题17-19题
7 . 已知数列中，，
，
.
(1)设
，求证是等差数列；
(2)求的通项.
中，，，.(1)设
，求证是等差数列；(2)求
的通项.
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2022-03-04更新
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1063次组卷
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4卷引用：湖南省益阳市安化县第五高级中学等校2023届高三下学期联合模拟测试数学试题
湖南省益阳市安化县第五高级中学等校2023届高三下学期联合模拟测试数学试题“四省八校”2022 届高三下学期开学考试文科数学试题“四省八校”2022 届高三下学期开学考试理科数学试题（已下线）题型16 11类数列通项公式构造解题技巧
名校
解题方法
8 . 已知数列满足
.
(1)求证：是等差数列；
(2)若
，求的通项公式.
满足.(1)求证：
是等差数列；(2)若
，求的通项公式.
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2022-02-08更新
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3416次组卷
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5卷引用：湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学试题
湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学试题重庆市2022届高三上学期1月调研数学试题（已下线）专题22 常见数列的通项求法-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（已下线）4.3 利用递推公式求通项（精练）-【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段性考试数学试题
9 . 已知数列中，
．
(1)证明：数列和数列
都为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列
的前n项和．
中，．(1)证明：数列
和数列都为等比数列；(2)求数列
的通项公式；(3)求数列
的前n项和．
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2022-03-27更新
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624次组卷
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6卷引用：湖南省郴州市嘉禾县第一中学2021-2022学年高二上学期期末模拟数学试题
湖南省郴州市嘉禾县第一中学2021-2022学年高二上学期期末模拟数学试题甘肃省定西市临洮中学2021-2022学年高二上学期第二次月考理科数学试题（已下线）2022年高考天津数学高考真题变式题10-12题（已下线）2022年高考天津数学高考真题变式题16-18题山西省介休市第一中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题甘肃省武威市天祝一中、民勤一中、古浪一中等四校联考2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题
20-21高二·全国·假期作业
名校
解题方法
10 . 已知数列
满足，
，
(
且)．
（1）求证：数列
是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
满足，，(且)．（1）求证：数列
是等差数列；（2）求数列
的通项公式．
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2021-01-02更新
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667次组卷
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6卷引用：湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试题
湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试题（已下线）专题16+选择性必修第二册综合练习-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（人教A版2019）（已下线）专题10+必修5综合练习-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（人教A版）（已下线）专题10+必修5综合练习-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（文）（人教A版）（已下线）专题10 必修5综合练习（已下线）专题10 必修5综合练习
