1 . 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为．

(1)求，，；
(2)写出与的关系，并求出．
(3)求证：

2 . 已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式．

3 . 已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.

4 . 已知数列中，，，设.
(1)求，，；
(2)判断数列是不是等比数列，并说明理由；
(3)求数列的前n项和.

5 . 已知，且，．
（1）求函数的表达式；
（2）已知数列的项满足，试求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）．

6 . 已知数列中，，，．
（1）求，的值；
（2）求的前2021项和．

7 . 已知数列，首项，前项和足.
（1）求出，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.

8 . 已知数列的前项和为，，.
（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.

9 . 设数列的前项和为，且满足.
（1）求;
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

10 . 在数列中，．
（1）求的值；
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．