1 . 已知数列满足，．
(1)已知，
①若，求；
②若关于m的不等式的解集为M，集合M中的最小元素为8，求的取值范围；
(2)若，是否存在正整数，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．

2 . 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.

3 . 数列的数列的首项，前n项和为，若数列满足：对任意正整数n，k，当时，总成立，则称数列是“数列”
（1）若是公比为2的等比数列，试判断是否为“”数列？
（2）若是公差为d的等差数列，且是“数列”，求实数d的值；
（3）若数列既是“”，又是“”，求证：数列为等差数列.

4 . 各项为正的数列满足，
（1）当时，求证：数列是等比数列，并求其公比；
（2）当时，令，记数列的前n项和为，数列的前n项之积为，求证：对任意正整数n，为定值．

5 . 已知数列满足是数列的前项的和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；
（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

6 . 若数列同时满足条件：①存在互异的使得（为常数）；
②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.
（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
①；          ②；        ③
（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；
（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知为正整数，数列满足，，设数列满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若数列是等差数列，求实数的值；
(3)若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

8 . 若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②若对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．

(1)已知，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．

9 . 若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

10 . 已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，，其前9项和为63.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，若存在正整数，有，求实数的取值范围；
（3）将数列,的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：…，求这个新数列的前项和.