1 . 已知数列的通项公式，.设，，...，（其中，）成等差数列.
（1）若.
①当，，为连续正整数时，求的值；
②当时，求证：为定值；
（2）求的最大值.

2 . 在中，角，，所对的边分别为，，.且满足.
求证：，，成等差数列；
若的面积为，其外接圆半径，求的值.

3 . 如果数列满足“对任意正整数i，j，，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d.
（1）若，，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若数列具有“性质P”，求证：且；
（3）若数列具有“性质P”，且存在正整数k，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.

4 . 正整数数列满足（p，q为常数），其中为数列的前n项和．
(1)若，，求证：是等差数列；
(2)若数列为等差数列，求p的值；
(3)证明：的充要条件是．

5 . 已知数列为等差数列.
（1）求证：；
（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.

6 . 将数列的前项分成两部分，且两部分的项数分别是，若两部分和相等，则称数列的前项的和能够进行等和分割.
（1）若，试写出数列的前项和所有等和分割；
（2）求证：等差数列的前项的和能够进行等和分割；
（3）若数列的通项公式为：，且数列的前项的和能够进行等和分割，求所有满足条件的.

7 . 若成等差数列，求证：也成等差数列.

8 . 已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，，都有.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，且.
①求证数列为常数列.
②求数列的前项和.

9 . 对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
已知，且，若数列和满足：，且，．
若，求的取值范围；
求证：数列是“拟等比数列”；
已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．

10 . 给定整数()，设集合，记集合．
（1）若，求集合；
（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；
（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．