1 . 对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．

2 . 已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明数列是等差数列．

3 . 已知数列满足：，且，其中；
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．

4 . 已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

5 . 已知等差数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：数列是等差数列.

6 . 设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．
（1）当时，求；
（2）当时，
（ⅰ）求证：数列是等差数列；
（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．