名校
解题方法
1 . 已知点
是函数
图像上不同的点，设首项
（常数
，记
．
(1)若数列
是一个5项的等比数列，其中
，当
时，试写出数列
的前6项；
(2)若数列是一个无穷等差数列，满足
，当
时，求数列的前
项和
；
(3)若对于任意
，都有
，当数列各项均不为1时，记
，若存在常数
，使得对于任意，不等式
都成立，求非负实数
的取值范围．
是函数图像上不同的点，设首项（常数，记．(1)若数列
是一个5项的等比数列，其中，当时，试写出数列的前6项；(2)若数列
是一个无穷等差数列，满足，当时，求数列的前项和；(3)若对于任意
，都有，当数列各项均不为1时，记，若存在常数，使得对于任意，不等式都成立，求非负实数的取值范围．
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2023-05-29更新
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420次组卷
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2卷引用：上海市交通大学附属中学2023届高三下学期5月卓越考3数学试题
2 . 已知数列满足
.
(1)若数列的前4项分别为4，2，
，1，求的取值范围；
(2)已知数列中各项互不相同.令
，求证：数列是等差数列的充要条件是数列
是常数列；
(3)已知数列是m（
且
）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若
，求m的所有取值.
满足.(1)若数列
的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围；(2)已知数列
中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列；(3)已知数列
是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值.
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3 . 将边长为1的正三角形ABC的各边都n（n∈N且n≥2）等分，过各分点作平行于其他两边的直线，将这个三角形等分成小三角形，各小三角形的顶点称为结点，在每个结点处放置了一个实数，满足以下两个条件：①A，B，C三点上放置的数分别为a，b，c；②在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等.
(1)当n=2，a=1，b=2，c=3时，如图1，△ABC的三个结点处放置的三个实数分别为x，y，z，那么x+y+z=___________（请直接写出答案）；
(2)当n≥3时，如图2，与△ABC的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x，y，z，那么求证：x+ z=2y.并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r（规定当最大数与最小数相同时对应结点的距离为0）；
(3)求结点上所有数的和S.
(1)当n=2，a=1，b=2，c=3时，如图1，△ABC的三个结点处放置的三个实数分别为x，y，z，那么x+y+z=___________（请直接写出答案）；
(2)当n≥3时，如图2，与△ABC的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x，y，z，那么求证：x+ z=2y.并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r（规定当最大数与最小数相同时对应结点的距离为0）；
(3)求结点上所有数的和S.
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4 . 对于实数数列{an}，记
.
（1）若m1=1，m2=2，m3=4，m4=8，写出a1，a2，a3，a4的值；
（2）若数列{an}是等差数列，求证：对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，总有(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=0；
（3）若对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，存在常数c，使得(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=c，求证：{an}是等差数列.
.（1）若m1=1，m2=2，m3=4，m4=8，写出a1，a2，a3，a4的值；
（2）若数列{an}是等差数列，求证：对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，总有(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=0；
（3）若对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，存在常数c，使得(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=c，求证：{an}是等差数列.
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2020-12-21更新
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260次组卷
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3卷引用：北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题
5 . 已知数列
为等差数列，公差为d，前n项和为
（1）若
，求
的值;
（2）若
中恰有6项在区间
内，求d的取值范围;
（3）若
，集合
，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列
，使得此新数列满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明;若不能，请说明理由．(注：数
叫做数a和数b的调和平均数)．
为等差数列，公差为d，前n项和为（1）若
，求的值;（2）若
中恰有6项在区间内，求d的取值范围;（3）若
，集合，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列，使得此新数列满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明;若不能，请说明理由．(注：数叫做数a和数b的调和平均数)．
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2020-11-19更新
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288次组卷
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2卷引用：江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
6 . 设等差数列的首项为0，公差为a，
；等差数列
的首项为0，公差为b，
.由数列和构造数表M，与数表
；
记数表M中位于第i行第j列的元素为
，其中
，（i，j=1，2，3，…）.
记数表中位于第i行第j列的元素为
，其中
（
，
，
）.如：
，
.
（1）设
，
，请计算
，
，
；
（2）设
，
，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；
（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.
的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；记数表M中位于第i行第j列的元素为
，其中，（i，j=1，2，3，…）.记数表
中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.（1）设
，，请计算，，；（2）设
，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；（3）设
，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.
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解题方法
7 . 已知有限项的、正整数的递增数列，并满足如下条件：对任意不大于各项总和
的正整数
，总存在一个子列，使得该子列所有项的和恰好等于.这里的‘子列’是指由原数列中的一部分项（包括一项、所有项）组成的新数列.
（1）写出
，
的值；
（2）“成等差数列”的充要条件是“各项总和恰好是其项数、项数平方值的等差中项”.为什么？请说明理由.
（3）若
，写出“项数最少时，中的最大项”的值.
，并满足如下条件：对任意不大于各项总和的正整数，总存在一个子列，使得该子列所有项的和恰好等于.这里的‘子列’是指由原数列中的一部分项（包括一项、所有项）组成的新数列.（1）写出
，的值；（2）“
成等差数列”的充要条件是“各项总和恰好是其项数、项数平方值的等差中项”.为什么？请说明理由.（3）若
，写出“项数最少时，中的最大项”的值.
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解题方法
8 . 记公差不为0的等差数列的前项和为，
，
成等比数列．
（Ⅰ） 求数列的通项公式
及；
（Ⅱ） 若
，n=1，2，3，…，问是否存在实数
，使得数列
为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
的前项和为，，成等比数列．（Ⅰ） 求数列
的通项公式及；（Ⅱ） 若
，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
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9 . 已知数列是公差为
的等差数列，如果数列
满足
，则称数列
是“可等距划分数列”．
（1）判断数列
是否是“可等距划分数列”，并说明理由；
（2）已知
，
，设
，求证：对任意的，
，数列
都是“可等距划分数列”；
（3）若数列
是“可等距划分数列”，求
的所有可能值．
是公差为的等差数列，如果数列满足，则称数列是“可等距划分数列”．（1）判断数列
是否是“可等距划分数列”，并说明理由；（2）已知
，，设，求证：对任意的，，数列都是“可等距划分数列”；（3）若数列
是“可等距划分数列”，求的所有可能值．
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10 . 已知数列中，
，前项的和为，且满足数列
是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项的和为，且
恒成立，求的最大值.
中，，前项的和为，且满足数列是公差为1的等差数列.（1）求数列
的通项公式；（2）若数列
的前项的和为，且恒成立，求的最大值.
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