2 . 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．



……

(1)求第2行和第3行的通项公式和；
(2)一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
(3)若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．

3 . 已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．

4 . 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由?
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a的值．

5 . 记为数列的前n项积，已知
(1)证明: 数列是等差数列；
(2)若将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 求数列的前项和;
(3)已知等比数列的首项为1，公比为若 对任意的恒成立，求的值.

6 . 已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．

7 . 已知数列满足，，
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，记集合中元素的个数为，求使成立的最小正整数的值.

8 . 在数列中，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．

9 . 已知数列满足.
(1)求；
(2)求数列的通项公式．

10 . 已知数列满足：，．
(1)求的通项公式；
(2)设表示不超过的最大整数，如，．设，为前项和，求数列的前1000项和．