1 . 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若数列，，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

2 . 已知数列为等差数列，公差为，前项和为.
(1)若，求的值；
(2)若首项中恰有6项在区间内，求的范围；
(3)若首项，公差，集合，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数叫做数和数的调和平均数).

3 . 若数列满足“对任意的正整数i，j，，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．
(1)判断数列和是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若公比为的无穷等比数列具有“性质P”，求首项的取值集合；
(3)若首项的无穷等差数列具有“性质P”，求公差d的取值集合．

6 . 已知数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）用适当的组合数形式表示，并求数列的前n项和；
（3）若，记数列的前n项和为，求．

7 . 已知数列是等比数列,且,,数列满足:对于任意,有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,,设,当且仅当时,取得最大值,求的取值范围.

8 . 设数列 的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.
（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，， ；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围.

9 . 设各项均为整数的无穷数列满足：，且对所有，均成立.
（1）写出的所有可能值（不需要写计算过程）；
（2）若是公差为1的等差数列，求的通项公式；
（3）证明：存在满足条件的数列，使得在该数列中，有无穷多项为2019.

10 . 设等差数列的公差为前项和为且则的取值范围是_________.