1 . 设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.
(1)若数列,,判断和是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.
(1)若数列,,判断和是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.
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2023-12-25更新
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693次组卷
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4卷引用:北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2024届高三上学期12月练习数学试题
解题方法
2 . 若数列共有项,对任意都有(为常数,且),则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.
(1)若,,,求的值;
(2)已知数列是公差为的等差数列,,若,,求和的值;
(3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列,求证:.
(1)若,,,求的值;
(2)已知数列是公差为的等差数列,,若,,求和的值;
(3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列,求证:.
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名校
解题方法
3 . 已知数列满足对任意的,均有,且,,数列为等差数列,且满足,.
(1)求,的通项公式;
(2)设集合,记为集合中的元素个数.
①设,求的前项和;
②求证:,.
(1)求,的通项公式;
(2)设集合,记为集合中的元素个数.
①设,求的前项和;
②求证:,.
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4 . 已知数列满足.
(1)若,求最小正数的值,使数列为等差数列;
(2)若,求证:;
(3)对于(2)中的数列,求证:
(1)若,求最小正数的值,使数列为等差数列;
(2)若,求证:;
(3)对于(2)中的数列,求证:
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5 . 设为无穷数列,给定正整数,如果对于任意,都有,则称数列具有性质.
(1)判断下列两个数列是否具有性质;(结论不需要证明)
①等差数列:5,3,1,…;②等比数列:1,2,4,….
(2)已知数列具有性质,,,且由该数列所有项组成的集合,求的通项公式;
(3)若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列,求的最小值.
(1)判断下列两个数列是否具有性质;(结论不需要证明)
①等差数列:5,3,1,…;②等比数列:1,2,4,….
(2)已知数列具有性质,,,且由该数列所有项组成的集合,求的通项公式;
(3)若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列,求的最小值.
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6 . 若无穷数列满足,则称数列为数列,若数列同时满足,则称数列为数列.
(1)若数列为数列,,证明:当时,数列为递增数列的充要条件是;
(2)若数列为数列,,记,且对任意的,都有,求数列的通项公式.
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名校
解题方法
7 . 已知等比数列的公比为q(),其所有项构成集合A,等差数列的公差为d(),其所有项构成集合B.令,集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列.
(1)若集合,写出一组符合题意的数列和;
(2)若,数列为无穷数列,,且数列的前5项成公比为p的等比数列.当时,求p的值;
(3)若数列是首项为1的无穷数列,求证:“存在无穷数列,使”的充要条件是“d是正有理数”.
(1)若集合,写出一组符合题意的数列和;
(2)若,数列为无穷数列,,且数列的前5项成公比为p的等比数列.当时,求p的值;
(3)若数列是首项为1的无穷数列,求证:“存在无穷数列,使”的充要条件是“d是正有理数”.
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2023-04-25更新
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1520次组卷
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3卷引用:北京市丰台区2023届高三二模数学试题
名校
8 . 已知和是各项均为正整数的无穷数列,如果同时满足下面两个条件:
①和都是递增数列;
②中任意两个不同的项的和不是中的项.
则称被屏蔽,记作.
(1)若,.
(i)判断是否成立,并说明理由;
(ii)判断是否成立,并说明理由.
(2)设是首项为正偶数,公差是的无穷等差数列,判断是否存在数列,使得.如果存在,写出一个符合要求的数列;如果不存在,说明理由;
(3)设是取值于正整数集的无穷递增数列,且对任意正整数,存在正整数,使得.证明:存在数列,使得.
①和都是递增数列;
②中任意两个不同的项的和不是中的项.
则称被屏蔽,记作.
(1)若,.
(i)判断是否成立,并说明理由;
(ii)判断是否成立,并说明理由.
(2)设是首项为正偶数,公差是的无穷等差数列,判断是否存在数列,使得.如果存在,写出一个符合要求的数列;如果不存在,说明理由;
(3)设是取值于正整数集的无穷递增数列,且对任意正整数,存在正整数,使得.证明:存在数列,使得.
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名校
9 . 设满足以下两个条件的有穷数列,,…,为阶“Q数列”:
①;②.
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”;
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列,求该数列的通项公式;
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为,求证.
①;②.
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”;
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列,求该数列的通项公式;
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为,求证.
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名校
解题方法
10 . 数列的前项和为,若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称数列是“数列”.
(1)数列的前项和,判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)数列是等差数列,其首项,公差,数列是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.
(1)数列的前项和,判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)数列是等差数列,其首项,公差,数列是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.
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2022-12-25更新
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397次组卷
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2卷引用:上海财经大学附属北郊高级中学2023届高三上学期10月月考数学试题