1 . 已知在等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.

2 . 已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值；
（3）记，数列的前项和，求证：.

3 . 数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，记数列的前项和为.已知.
（1）若（是大于2的正整数）求证：；
（2）若（是某个确定的正整数），求证:数列中每个项都是数列的项.

4 . 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前项和为，且，求证：.

5 . 已知各项都是正数的数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，数列的前项和，求证：；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

6 . 已知在等差数列中，，．
（I）设，求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．

7 . 已知数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，，．
（1）若，，求；
（2）已知，且对任意，有恒成立，求证：数列是等差数列；
（3）若，且存在正整数，使得．求当最大值，数列的通项公式．

8 . 已知数列是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）若数列满足，且为整数，求m的值．

9 . 已知且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.
（1）若“紧密数列”：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；
（2）数列为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；
（3）数列为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.

10 . 已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．