2 . 已知是等差数列，是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.
(1)若（m，k是大于2正整数），求证：；
(2)若（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

3 . 已知各项均为正数的数列前项和为．已知，数列是公差为1的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，令，为数列的前项和，若，求的值．

4 . 已知等差数列的首项，前项和为，且；等比数列满足，．
（1）求证：数列中的每一项都是数列中的项；
（2）若，设，求数列的前项的和．
（3）在（2）的条件下，若有，求的最大值．

5 . 已知无穷数列的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且．
（1）设，求数列的通项公式，并求的值；
（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．

6 . 设为不等于的正常数，各项均为正，首项为，且前项和为，已知对任意的正整数，当时，恒成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，存在一列数：恰好使得且，求数列的通项公式；
（3）当时，设，问数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由

7 . 已知首项大于0的等差数列的公差，且；
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，其中；
①已知，求证：当时，数列为等差数列；
②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

8 . 数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，记数列的前项和为.已知.
（1）若（是大于2的正整数）求证：；
（2）若（是某个确定的正整数），求证:数列中每个项都是数列的项.

9 . 已知单调递增的数列满足、、成等比数列，、、成等差数列，则的取值范围是______.

10 . 对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”.
（1）已知数列1，，是“数列”，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前n项和使得恒成立？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.