1 . 已知数列满足，，数列满足，．
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．

2 . 已知数列满足，数列前项和.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)设，是否存在，使成立？并说明理由.

3 . 已知数列满足，．

(1)证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列满足，为数列的前n项和，

①求数列的前n项和；

②若在，上恒成立，求的取值范围．

4 . 已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求和；
(3)求证：．

5 . 设数列的前n项和为，对一切，点都在函数图象上.
(1)求，归纳数列的通项公式（不必证明）；
(2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；
(3)设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.

6 . 已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
(1)已知 ，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
(2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列.

7 . 数列中，，当时，数列的前项和为，满足．
(1)求证：数列是等差数列，并求的表达式；
(2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值．

8 . 已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且；
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(3)若，求对所有的正整数n都有成立的实数k的取值范围？

9 . 对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
(1)证明：等差数列是“数列”；
(2)是否存在数列，它既是“数列”，又是“数列”？若存在给出证明；若不存在说明理由．

10 . 已知数列满足，，求数列的通项公式．