1 . 约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为，，⋯，，（）．
(1)当时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；
(2)当时，若，，⋯构成等比数列，求正整数a．
(3)当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，，⋯，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．

2 . 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足：.求证：数列为“数列”；
(2)已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前n项和.
①求数列的通项公式；
②已知是“数列”，且对任意正整数k，都有成立，求数列公比的取值范围.

3 . 已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.
(1)求；
(2)设，是数列的前n项和，求；
(3)设，是的前n项的积，求证：，．

4 . 已知正项等比数列的前n项和为，且．证明：数列是等比数列；

5 . 已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8.设，证明：数列是等差数列；

6 . 已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和.

7 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

8 . 设数列前n项和为，，.
(1)求，及的通项公式；
(2)若，证明：.

9 . 已知等比数列的公比为q，求证：对于任意的正整数m，n，有．

10 . 设，，，是等比数列的项，且，求证：．