1 . 已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，且，，成等比数列，求k和t的值．

2 . 定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.

3 . 定义：设是正整数，如果对任意正整数，当时，即有，那么称数列的前项可被数列的第项替换.已知数列的前项和是，数列是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式（用，表示）；
（2）已知，数列的前项和满足；
①求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
②若数列的前可被数列的前项替换，且的最大值为8，求的取值范围.

4 . （1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.

5 . 在数列中，已知，．
（1）若（k为常数），，求k；
（2）若．①求证：数列为等比数列；②记，且数列的前n项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围．

6 . 已知数列各项为正数，且对任意，都有.
（1）若，，成等差数列，求的值；
（2）①求证：数列为等比数列；
②若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.

7 . 已知数列{a_n}各项均不相同，a₁＝1，定义，其中n，k∈N*．
（1）若，求；
（2）若b_n＋1(k)＝2b_n(k)对均成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（i）求数列{a_n}的通项公式；
（ii）若k，t∈N^*，且S₁，S_k－S₁，S_t－S_k成等比数列，求k和t的值．

8 . 已知数列中，，点在直线上.
(1)计算、、的值；
(2)令，求证：数列是等比数列；
(3)设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

9 . 若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

10 . 已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．