1 . 设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．

2 . 已知等差数列的前项和为，满足．
(1)求的值；
(2)设的前项和为，求证：．

3 . 已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，令，求数列的前n项和．

4 . 已知数列满足，，，
(1)令，求证：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和.

5 . 已知正项数列的前n项和为．若（且）．
(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求前n项和．

6 . 某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在①的后面保留一个“答案：，，成等差数列”的记录，具体如下：记等比数列的前项和为，已知      .
①判断，，的关系；（答案：，，成等差数列）；
②若，记，求证：.
(1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列的首项的值或公比的值（只补充其中一个值），并说明你的理由；
(2)利用（1）补充的条件，完成②的证明过程.

7 . 已知为数列的前项积，且，是公比为的等比数列，设.
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求使的最大整数.

8 . 对任意非零数列，定义数列，其中的通项公式为.
(1)若，求；
(2)若数列，满足且，的前项和为.求证：.

9 . 已知数列的前n项和为，，；
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)令，求数列的前n项和．

10 . 已知数列的首项，且满足．
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．