1 . 设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．

2 . 已知等差数列和等比数列满足：
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)已知，求证：.

3 . 某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在①的后面保留一个“答案：，，成等差数列”的记录，具体如下：记等比数列的前项和为，已知      .
①判断，，的关系；（答案：，，成等差数列）；
②若，记，求证：.
(1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列的首项的值或公比的值（只补充其中一个值），并说明你的理由；
(2)利用（1）补充的条件，完成②的证明过程.

4 . 已知各项为正数的数列前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列前n项和为，求证：．

5 . 对任意非零数列，定义数列，其中的通项公式为.
(1)若，求；
(2)若数列，满足且，的前项和为.求证：.

6 . 已知数列的前n项和满足．数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求证：．

7 . 已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.

8 . 设数列，的前项和分别为和，已知，，且满足：， （）.
(1)求的通项公式，并证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

9 . 在数列中，，且.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

10 . 在数列中，，，，其中.
(1)数列是等比数列吗，请写出证明过程；
(2)设，数列的前项和为，求；
(3)已知当且时，，其中，求满足等式的所有的值之和.