1 . 已知数列的前项和为，且．

(1)求 的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．

2 . 在等差数列中，，是和的等比中项．
(1)求的公差；
(2)若数列的前项和为，且，求.

3 . 某手游公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三级，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，若上一关的难度是Ⅲ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，已知第关的难度为Ⅰ．
(1)求第关的难度为Ⅲ的概率；
(2)用表示第关的难度为Ⅲ的概率，求；
(3)设，记，且对任意恒成立，求实数的最大值．

4 . 记为数列的前项和，
(1)求，并证明
(2)若，求数列的前项和

5 . 记数列的前项和为.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.

6 . 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，，求数列的前项和．

7 . 已知数列前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

8 . 已知各项均为正数的数列中，为的前项和，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和．

9 . 已知等差数列的公差不为0，，且满足，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，记，求数列的前n项和．

10 . 已知等差数列满足，则数列的通项公式为__________；记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为__________.