1 . （1）已知，，，证明：；
（2）证明：当，时，有.

2 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
(1)已知均为正数，且，求证：；
(2)已知，求证：.

3 . 已知正数，满足．
(1)求的最小值；
(2)若正数满足，证明：与之和为定值，且．

4 . 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客.
(1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
(2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由.

5 . 已知．
(1)若，证明：．
(2)若，求的最大值．

6 . 已知，，均为正数，若，求证：
(1)；
(2).

7 . 已知，，且.
(1)证明：；
(2)若，，求的最小值.

8 . （1）已知正数，，满足，求证：；
（2）已知正数，，满足，求证：．

9 . 求证下列问题：
(1)已知均为正数，求证:.
(2)已知，求证: 的充要条件是.

10 . 已知集合
(1)求的最小值；
(2)对任意，证明．