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1 . 易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻,易拉罐(如图所示)作为饮品的容器,每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题,即在易拉罐的体积(容积)一定的情况下,如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省?他研究发现易拉罐的上盖、下底和侧壁的厚度是不同的,进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程,请回答其中问题.模型假设:①易拉罐近似看成一个圆柱体,容积一定;②上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀;③上盖、下底、侧壁所用金属相同; ④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(1)建立模型问题1: 填空:记圆柱容积为,高为,底面半径为, 则___________; ①记上盖、下底和侧壁的厚度分别为(底面半径都为),且侧壁展开可看成长方体(长、宽、高分别为),金属用料总量为C(接口材料忽略不计),则 ___________ ;②因为都是常数,不妨设,则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示) ③;
(2)求解模型:问题2:求解当取何值时(用表示),取得最小值,即用料最省?(写出解答过程)检验模型:小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优;
(3)模型评价与改进:问题3:模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注:只需一条原因及相应改进措施即可
(1)建立模型问题1: 填空:记圆柱容积为,高为,底面半径为, 则___________; ①记上盖、下底和侧壁的厚度分别为(底面半径都为),且侧壁展开可看成长方体(长、宽、高分别为),金属用料总量为C(接口材料忽略不计),则 ___________ ;②因为都是常数,不妨设,则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示) ③;
(2)求解模型:问题2:求解当取何值时(用表示),取得最小值,即用料最省?(写出解答过程)检验模型:小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优;
(3)模型评价与改进:问题3:模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注:只需一条原因及相应改进措施即可
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2023高二上·上海·专题练习
2 . (1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可);
(2)如图,在长方体中,,,,一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点,求蚂蚁爬行的最短路线长.
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解题方法
3 . 已知底面为菱形的四棱锥中,是等边三角形,平面平面ABCD,E,F分别是棱PC,AB上的点.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件,证明另一个成立;
①F是AB的中点;②E是PC的中点;③平面PFD.(只需选择一种组合进行解答即可)
(2)若,,,求三棱锥的体积.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件,证明另一个成立;
①F是AB的中点;②E是PC的中点;③平面PFD.(只需选择一种组合进行解答即可)
(2)若,,,求三棱锥的体积.
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4 . 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中分别是上、下底面圆的圆心,且,现有一箱这种的陀螺共重(不包含箱子的质量),陀螺的密度为(取3)
(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺?
(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料,试问共需涂多少的颜料?
(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺?
(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料,试问共需涂多少的颜料?
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5 . 如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,,
(1)求证:平面
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值
(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).
(1)求证:平面
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值
(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).
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解题方法
6 . 《瀑布》(图1)是最为人所知的作品之一,图中的瀑布会源源不断地落下,落下的水又逆流而上,荒唐至极,但又会让你百看不腻,画面下方还有一位饶有兴致的观察者,似乎他没发现什么不对劲.此时,他既是画外的观看者,也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体,左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成,右塔上的几何体是首次出现,后称“埃舍尔多面体”(图2)埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造,设边长均为2,定义正方形,的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”,其端点为“极点”,记为,将极点,分别与正方形的顶点连线,取其中点记为,,,如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成,这些四棱锥顶点均为“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成,为了便于理解,图4我们构造了其中两个四棱锥与(1)求异面直线与成角余弦值;
(2)求平面与平面的夹角正弦值;
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案).
(2)求平面与平面的夹角正弦值;
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案).
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2023-01-18更新
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1059次组卷
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11卷引用:压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练
(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期2月月度质量检测数学试题(已下线)微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点6 空间交叉图形公共部分体积的计算【培优版】(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点3 跨学科交汇问题综合训练【培优版】(已下线)专题07 空间向量与立体几何(九大题型+优选提升题)-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(沪教版2020选择性必修,上海专用)上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(已下线)第3章 空间向量及其应用(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)(已下线)期末真题必刷压轴60题(23个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)期末真题必刷压轴60题(22个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题
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解题方法
7 . 《瀑布》(图1)是埃舍尔最为人所知的作品之一,图中的瀑布会源源不断地落下,落下的水又逆流而上,荒唐至极,但又会让你百看不腻.画面下方还有一位饶有兴致的观察者,似乎他没发现什么不对劲.此时,他既是画外的观看者,也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体,左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成,右塔上的几何体是首次出现,后称“埃舍尔多面体”(图2)
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造,设边长均为2,定义正方形的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”,其端点为“极点”,记为,将极点,分别与正方形的顶点连线,取其中点记为,如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成,这些四棱锥顶点均为“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成,为了便于理解,图4我们构造了其中两个四棱锥与.
(1)求异面直线与成角余弦值
(2)求平面与平面的夹角余弦值
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案)
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造,设边长均为2,定义正方形的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”,其端点为“极点”,记为,将极点,分别与正方形的顶点连线,取其中点记为,如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成,这些四棱锥顶点均为“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成,为了便于理解,图4我们构造了其中两个四棱锥与.
(1)求异面直线与成角余弦值
(2)求平面与平面的夹角余弦值
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案)
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8 . 数学史上著名的波尔约-格维也纳定理:任意两个面积相等的多边形,它们可以通过相互拼接得到.它由法卡斯·波尔约(FarksBolyai)和保罗·格维也纳(PaulGerwien)两位数学家分别在1833年和1835年给出证明.现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形,使它们的全面积都与原平面图形的面积相等:(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),其中图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥;图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形(阴影部分),其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底.
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
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15-16高三上·上海浦东新·期中
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9 . 如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,,,()(1)求证:平面;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值;
(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值;
(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)
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2020-02-05更新
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844次组卷
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5卷引用:辽宁省实验中学2024届高三考前模拟数学试卷
辽宁省实验中学2024届高三考前模拟数学试卷(已下线)上海市华东师大二附中2016届高三上学期期中数学试题(已下线)上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题北京市一零一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题(已下线)第一章 空间向量与立体几何(压轴必刷30题4种题型专项训练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)
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10 . 球面几何学是在球表面上的几何学,也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球,过球面上一点作两条大圆的弧,,它们构成的图形叫做球面角,记作(或),其值为二面角的大小,点称为球面角的顶点,大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点,可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧,这三条劣弧组成的图形称为球面,这三条劣弧称为球面的边,三点称为球面的顶点;三个球面角称为球面的三个内角.
(1)球面的三条边长相等(称为等边球面三角形),若,求球面的内角和;
(2)类比二面角,我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角,记为.
其中点称为三面角的顶点,称为它的棱,称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
(ⅰ)求球面的三个内角的余弦值;
(ⅱ)求球面的面积.
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.
(1)球面的三条边长相等(称为等边球面三角形),若,求球面的内角和;
(2)类比二面角,我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角,记为.
其中点称为三面角的顶点,称为它的棱,称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
(ⅰ)求球面的三个内角的余弦值;
(ⅱ)求球面的面积.
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