1 . 如图，在边长为的正方体中，为中点，

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

2 . 如图，在由三棱锥和四棱锥拼接成的多面体中，平面，平面平面，且是边长为的正方形，是正三角形.
   
(1)求证:平面；
(2)若多面体的体积为16，求与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.

(1)当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由；
(2)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.

4 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小；
(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.

5 . 已知四棱锥的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点.

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设，求点A到平面SBD的距离；
(3)当的值为多少时，二面角的大小为？

6 . 在四棱锥中，底面是正方形，AC与BD交于点O，底面，F为BE的中点.
   
(1)求证：平面ACF；
(2)求证：；
(3)若，求三棱锥的体积.

7 . 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为；
①求三棱锥P-ACE的体积；
②求二面角P-AC-E的余弦值.

8 . 如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.

(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.

9 . 如图，正方体的棱长为a，连接，，得到一个三棱锥；求：
       
(1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥的体积．

10 . 如图所示棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高．设AB＝x．

(1)当x＝3时，求三棱锥A﹣PBC的体积；
(2)四棱锥外接球的表面积的最小值．