1 . 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为
，球冠的高是
，球冠的表面积公式是
，与之对应的球缺的体积公式是
.如图2，已知
是以
为直径的圆上的两点，
，则扇形
绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________ ，体积为__________ .
，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为
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2024-03-10更新
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1253次组卷
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4卷引用：山东省临沂市2024届高三下学期一模考试数学试题
山东省临沂市2024届高三下学期一模考试数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】（已下线）高一 模块3 专题1 小题进阶提升练山东省泰安市新泰第一中学2024届高三下学期高考模拟测试（一）数学试题
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解题方法
2 . 2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点
，满足
平面
，若
的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）
，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023-12-25更新
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1347次组卷
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7卷引用：技巧03 数学文化与数学阅读解题技巧（4大题型）（练习）
（已下线）技巧03 数学文化与数学阅读解题技巧（4大题型）（练习）2024届河北省部分高中高考一模数学试题（已下线）专题8.13 立体几何初步全章综合测试卷（提高篇）-举一反三系列单元测试B卷——第八章?立体几何初步福建省龙岩市上杭县第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题江西省赣州市南康中学2024届高三上学期七省联考考前数学猜题卷（三）重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期定时检测（二）（期中）数学试题
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3 . 贵州榕江“村超”火爆全网，引起旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示，顶点A在底面的射影落在
内，它的体积为
，其中和都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积为______ ．
内，它的体积为，其中和都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积为
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4 . 2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥
如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为
，其中△BCD和△ABC都是边长为
的正三角形，则该“鞠”的表面积为（ ）
如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为，其中△BCD和△ABC都是边长为的正三角形，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023-08-10更新
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609次组卷
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7卷引用：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024届高三上学期期末模拟数学试卷（二）
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024届高三上学期期末模拟数学试卷（二）（已下线）技巧03 数学文化与数学阅读解题技巧（4大核心考点）（讲义）（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点4 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题综合训练【基础版】（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】（已下线）专题06 空间直线﹑平面的垂直（一-《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第二册）湖南省新高考教学教研联盟2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题江苏省江阴市第一中学2024届高三上学期12月阶段测试数学试题
5 . 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由
，直角梯形
和以
为圆心的四分之一圆弧
构成，其中
，
，
，且
，
，
，将平面图形
以
所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形
，
在弧
上，
在线段
上，
在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设
（
），
①请用
表示燃料的体积
；
②若烟花燃烧时间
和燃料体积满足关系
，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），①请用
表示燃料的体积；②若烟花燃烧时间
和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
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2023-07-12更新
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684次组卷
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6卷引用：山东省日照市2022-2023学年高一下学期期末校际联合考试数学试题
山东省日照市2022-2023学年高一下学期期末校际联合考试数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】（已下线）专题03 基本立体图形、直观图、表面积与体积-期末真题分类汇编（新高考专用）（已下线）专题04 立体几何初步-期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）福建省泉州第五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
6 . 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑
，
平面
，
，
，
分别在棱
，
上，且
，
.若
，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（ ） | A． | B． | C． | D． |
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名校
解题方法
7 . 上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体
，设矩形
和
的中心分别为
和
，若
平面，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则（ ）
，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则（ ） | A．这个六面体是棱台 |
B．该六面体的外接球体积是 |
C．直线 与 异面 |
D．二面角 的余弦值是 |
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2023-06-28更新
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858次组卷
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5卷引用：陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下学期期末数学试题
陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点2 跨学科交汇问题（二）【培优版】湖北省十堰市2022-2023学年高一下学期期末数学试题江西省龙南中学2022-2023学年高一下学期6月期末考试数学试题福建省永春第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题
名校
8 . 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为
，则模型中九个球的表面积和为（ ）
的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023-06-14更新
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2515次组卷
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12卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题湖北省武昌实验中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（已下线）重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球（二十三大题型）-5浙江省杭州市北斗联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）考点7 组合体的内切 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）重难点6-3 立体几何外接球与内切球问题（12题型+满分技巧+限时检测）（已下线）专题15 球体外接内切综合问题小题（已下线）专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【八大题型】（已下线）重难点11 立体几何常考经典小题全归类【九大题型】天津市部分学校2023-2024学年高三下学期第一次质量调查数学试卷（已下线）【类题归纳】正四面体 基底建系浙江省乐清市知临中学2023届高三下学期5月第二次仿真考数学试题
名校
解题方法
9 . 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为
，则下列结论正确的是（ ）
的棱长为，则下列结论正确的是（ ） | A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 |
B．若 、 是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4 |
C．勒洛四面体的体积是 |
D．勒洛四面体内切球的半径是 |
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2023-06-12更新
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891次组卷
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11卷引用：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题广西南宁市邕宁高级中学2023-2024学年高二上学期数学测试试题（一）新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第二十三中学2024届高三上学期1月月考数学试题新疆乌鲁木齐市第101中学2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）第四套 九省联考全真模拟（已下线）【一题多变】外接于球 两心相连（已下线）专题1 立体几何中的截面问题【讲】（压轴小题）山东省安丘市青云学府2023届高三二模考前适应性练习（二）数学试题江苏省徐州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）模块二 专题5《立体几何初步》单元检测篇 B提升卷 （苏教版）福建省华安县第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学模拟试题
2023高三·全国·专题练习
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10 . 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2.侧棱长为
.则其外接球的表面积为____ .
.则其外接球的表面积为
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