名校
解题方法
1 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为
，母线长为
．
（1）当
，
时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
（2）如图，当，
时，平面
与圆柱
底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线
，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点
、
，若以点、所在直线为
轴，线段
的中垂线为
轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程；
（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球
个，当取得最大值
时，求
的值．（结果用数字表示）
，母线长为．（1）当
，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当
，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点、，若以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球个，当取得最大值时，求的值．（结果用数字表示）
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解题方法
2 . 如图，在直三棱柱
中，
是边长为2的正三角形，点
分别是棱
上的点，点
是线段
上一点，
.
(1)若为中点，证明：
平面
；
(2)若
，求
.
中，是边长为2的正三角形，点分别是棱上的点，点是线段上一点，.(1)若
为中点，证明：平面；(2)若
，求.
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名校
解题方法
3 . 如图，在正三棱柱中，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）已知
，
，求多面体
的体积．
中，为的中点．（1）证明：
平面；（2）已知
，，求多面体的体积．
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2021-10-20更新
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477次组卷
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2卷引用：广西钟山县钟山中学2021-2022学年高二上学期第三次（12月）月考数学试题
名校
解题方法
4 . 在如图所示的空间几何体中，平面
平面
与
均是等边三角形，
，
和平面
所成的角为
，且点
在平面上的射影落在
的角平分线上．
（1）求证：
平面；
（2）求多面体
的体积．
平面与均是等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的角平分线上．（1）求证：
平面；（2）求多面体
的体积．
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5 . 祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为
，高皆为
的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面
上，以平行于平面的平面于距平面任意高
处可横截得到
及
两截面，可以证明
总成立.据此，短轴长为
，长半轴
为
的椭半球体的体积是（ ）
，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-08-04更新
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355次组卷
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3卷引用：重庆市万州第二高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题
重庆市万州第二高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题广东省梅州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题（已下线）第九章 立体几何专练1—基本立体图形（基础练）-2022届高三数学一轮复习
6 . 如图所示，四棱锥
中，
菱形
所在的平面，
，点､
分别是
、
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）当
时，求多面体
的体积.
中，菱形所在的平面，，点､分别是、的中点.（1）求证：平面
平面；（2）当
时，求多面体的体积.
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2021-07-03更新
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551次组卷
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4卷引用：四川省乐山市十校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题
7 . 如图，在几何体
中，四边形是菱形，且
，
平面，
，且
．
（
）证明：平面
平面
；
（
）若二面角
为
，求几何体的体积．
中，四边形是菱形，且，平面，，且．（
）证明：平面平面；（
）若二面角为，求几何体的体积．
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2021-08-02更新
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484次组卷
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2卷引用：四川省眉山市彭山区第一中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学（文)试题
名校
解题方法
8 . 如图，边长为的等边所在平面与菱形
所在平面互相垂直，且
，
，
.
（1）求证：
平面；
（2）求多面体的体积
.
的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，，.（1）求证：
平面；（2）求多面体
的体积.
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2020-08-27更新
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794次组卷
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14卷引用：四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二5月第二次质量检测数学（文）试题
四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二5月第二次质量检测数学（文）试题陕西省安康中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题陕西省宝鸡市渭滨区2021届高三下学期适应性训练(一)文科数学试题黑龙江省实验中学2021届高三下学期四模数学（文）试题陕西省西安中学2021届高三下学期第八次模拟考试文科数学试题安徽省合肥市2020届高三高考数学（文科）三模试题（已下线）专题20+立体几何综合-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅱ专版）安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学(文)试题（已下线）专题8-5 立体几何大题15种归类（平行、垂直、体积、动点、最值等非建系）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）湖南省长沙市宁乡市三校(宁乡七中、九中、十中)2021-2022学年高一下学期期中数学试题河南省中原名校联盟2021-2022学年高三下学期4月适应性联考文科数学试题（已下线）专题20 立体几何综合-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅱ专版）宁夏银川市第二中学2023届高三模拟数学（文）试题四川省泸州市泸县第四中学2024届高三下学期开学考试数学（文）试题
15-16高三上·上海浦东新·期中
名校
9 . 如图，在四棱柱
中，侧棱
底面，
，
，
，
，
，
，（
）
平面
；
（2）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为
，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
中，侧棱底面，，，，，，，（）
平面；（2）若直线
与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱
形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
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2020-02-05更新
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844次组卷
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5卷引用：上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题北京市一零一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何（压轴必刷30题4种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）上海市华东师大二附中2016届高三上学期期中数学试题辽宁省实验中学2024届高三考前模拟数学试卷
10 . 如图，在直三棱柱中，D是的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，
，
，求几何体
的体积
中，D是的中点.（1）求证：
平面；（2）若
，，，求几何体的体积
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2020-01-07更新
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246次组卷
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5卷引用：四川省遂宁中学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（文）试题
