1 . 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.

   

(1)求四面体外接球的体积；
(2)求证：平面平面；
(3)若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.

2 . 已知三棱柱，其中，，点是的中点，连接，，异面直线和所成角记为．

   

(1)若，求三棱柱外接球的表面积；
(2)若，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，求该截面面积．

3 . 如图，在正六棱锥中，球是其内切球，，点是底面内一动点（含边界），且.

   

(1)求正六棱锥的体积；
(2)当点在底面内运动时，求线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积.

4 . 如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．

5 . 如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．

(1)求证：直线平面；
(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；
(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．

6 . 如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为.

(1)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，证明：；
(2)若球O是正四棱锥P－ABCD的内切球，点Q是正方形ABCD内一动点，且OQ＝OP，当点Q沿着它所在的轨迹运动一周时，求线段OQ所形成的曲面与底面ABCD所围成的几何体的表面积.

7 . 已知等边△边长为，△BCD中，BD=CD=1，BC=(如图1所示)，现将B与，C与重合，将△向上折起，使得AD=(如图2所示).

(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；
(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.

8 . 已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.

(1)求三棱锥的的表面积；
(2)求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）

9 . 如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.设O是△ABC的内切圆圆心，_内是△ABC的内切圆半径，设是△ABC的面积，是△ABC的周长，由等面积法，可以得到_内.

(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球.设三棱锥的体积是，表面积是，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式_内(只写结论即可，不必写推理过程)；
(2)如图2，在三棱锥中，，，两两垂直，且，求三棱锥的内切球半径和外接球的半径之比.

10 . 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为4，．

（1）求的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．