1 . 如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.

(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.

2 . 如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，，点是的中点，

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值.

3 . 如图，在四棱锥中，为正三角，平面平面，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，请说明理由.

4 . 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

（1）求证：BD⊥PC；
（2）在棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？若存在描述F的位置并证明，若不存在，说明理由.

5 . 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， ,.
（1）求证：；
（2）若为的中点，为线段上的一点，令,当实数为何值时，，写出证明过程；
（3）在（2）的条件下求到平面的距离.

6 . 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．

   

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，点为棱的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．

8 . 某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．

9 . 将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

10 . 如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点．

(1)证明：平面PFB；
(2)求三棱锥的体积．