1 . 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点．

(1)证明：⊥面；
(2)求二面角的正切值；
(3)当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值．

2 . 如图，在三棱柱中，侧面为矩形．

(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．

3 . 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)记二面角的大小为.
①当时，求直线与平面所成角的正弦值.
②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.

4 . 如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.

(1)求证：；
(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.

5 . 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，线段的中点为，点为上的点，且.

(1)求证:平面平面；
(2)求二面角的正弦值.

6 . 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．

(1)证明：平面PBD⊥平面PBC；
(2)若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

7 . 如图，在四面体中，，分别是，的中点，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求二面角的正弦值．

8 . 如下左图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔点到的距离为3．将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下右图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点．

（1）证明：四边形为长方形；
（2）求二面角的平面角的正切值．

9 . 如图1，在等腰梯形中，、是梯形的高，，，现将、分别沿、折起，得一简单组合体，如图所示，点、分别折起到、，，，已知点为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．

10 . 如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面侧面,,楔面是边长为2的正三角形,点在侧面的射影是矩形的中心,点在上,且

（1）证明：平面；
（2）求楔面与侧面所成二面角的余弦值.