1 . 在圆锥中，是底面圆周上一点.设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆.

(1)记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积______（用表示）；在本题中，求圆锥的侧面积；
(2)求母线与底面所成角的大小.

2 . “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，.

(1)证明：四棱锥是一个“阳马”；
(2)已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值.

3 . 在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，．

(1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积；
(2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值．

4 . 等腰梯形中，，，．若点、均在上，且．如图（一）所示，沿将折起，沿将折起，使、两点重合为．
   
(1)若，如图（二）所示，求证：平面平面；
(2)若，为中点，当与重合于时，如图（三）所示，求与平面所成角的余弦值；
(3)请设计一个翻折方案使四棱锥的外接球半径为，证明你的结论，并求此方案下的的长度及的大小.

5 . 如图1，正方形和正方形的中心重合，，，、、、分别为、、、的中点，将图中的四块阴影部分裁剪下来，然后将、、、分别沿着、、、翻折，使得点、、、与点重合，得到如图2所示的四棱锥．
   
(1)求直线与底面所成角的余弦值；
(2)若为的中点，求到平面的距离．

6 . 地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晩从正西方点处落入地平面．

   

(1)太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？
(2)若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？

7 . 三棱锥中，底面为正三角形，平面，为棱的中点，且（为正常数）.

(1)若，求二面角的大小；
(2)记直线和平面所成角为，试用常数表示的值，并求的取值范围.

8 . 已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，.
   
(1)证明：；
(2)求二面角的大小；
(3)求与平面所成角的正弦值.

9 . 如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.

(1)求证面
(2)求和面所成角的正弦值.

10 . 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠．

(1)求线段的长度；
(2)若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小；
(3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值．