1 . 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______．

   

2 . 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.现有一羡除，平面平面，，四边形，均为等腰梯形，，则该几何体的体积为_________.

3 . 已知正三棱锥的侧棱长为3，．过顶点作底面的垂线，垂足为，过点作侧面的垂线，垂足为，过点作平面的垂线，垂足为，连接相关线段形成四面体，则四面体的外接球的表面积为______________．

4 . 平面与平面垂直
（1）二面角
从一条直线出发的_____所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的_____，二面角的大小可以用它的平面角度量. 二面角的范围是________.
（2）判定定理

文字语言	如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直.
图形语言
符号语言	l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.

（3）性质定理

文字语言	两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
图形语言
符号语言	α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，b⊥a⇒b⊥α.

[注意]　垂直、平行关系的相互转化

5 . 党的二十大是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在二十大即将胜利召开之际，某学校组织了《喜迎二十大，谱写新篇章》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图1.已知球的表面积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图2，则球心离底面的距离为__________.

6 . 平面角是直角的二面角称为__________，此时两个平面互相垂直，记为__________．
平面与平面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面过另一个平面的__________，那么__________．
图形语言：如图所示．

符号语言：若，则__________．
平面与平面垂直的性质定理
文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线__________，那么这条直线__________．
图形语言：如图所示．

符号语言：若，则__________．

7 . 已知菱形的边长为2，且，点M，N分别为线段，上的动点，沿将翻折至，若点C在平面内的射影恰好落在直线上，则当线段最短时，三棱锥的体积为___________.

8 . 圆锥的底面半径为，母线与底面成45°角，过圆锥顶点S作截面SAB，且与圆锥的高SO成30°角，则底面圆心O到截面SAB的距离是______.

9 . 平面与平面垂直的性质定理

文字语言	两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_____________，那么这条直线与另一个平面______________
符号语言	，，_________，__________
图形语言

[微思考]
（1）垂直于同一个平面的两个平面平行吗？
______________
（2）平面与平面垂直的性质定理有什么作用？
_________________________

10 . 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A′－BD－C，设三棱锥A′－BDC的外接球和内切球的半径分别为r₁，r₂，球心分别为O₁，O₂.若正方形ABCD的边长为1，则________；O₁O₂＝__________.