1 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.

(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论.

3 . 如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．

   

（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B−CD−C₁的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．

4 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

5 . 四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=" AB" =1，AD =2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．

（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC;
（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都有PNAM；
（Ⅲ）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45．

6 . 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，．
（1）证明：若是棱的中点，求证：平面；
（2）求平面和平面所成二面角（锐角）的大小．

7 . 在如图所示的直四棱柱中，连接，，，，，，，.

(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.

8 . 如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.

(1)取AB中点为G，求证：平面；
(2)求平面和平面所成夹角大小

9 . 如图，在四面体中，平面是中点，是线段上一点（不包含端点），点在线段上，且．

(1)若是中点，求证：∥平面；
(2)若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值．

10 . 在圆锥PO中，高，母线，B为底面圆O上异于A的任意一点.
   
(1)若，过底面圆心O作所在平面的垂线，垂足为H，求证：平面OHB；
(2)若，求二面角的余弦值.