名校
解题方法
1 . 我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形
中，
，将
沿
翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，
，
的中点，且
是与的公垂线.
(1)证明：三棱锥
为正四面体；
(2)若点M，N分别在
，上，且
为与的公垂线.
①求
的值；
②记四面体
的内切球半径为r，证明：
.
中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线. (1)证明：三棱锥
为正四面体；(2)若点M，N分别在
，上，且为与的公垂线.①求
的值；②记四面体
的内切球半径为r，证明：.
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2023-07-04更新
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2007次组卷
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9卷引用：重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题四川省成都市2023-2024学年高二上学期九月调研考试（校级联考）数学试题四川省成都市树德中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性测试数学试题（已下线）专题01 空间向量及其运算压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（压轴题专练，精选20题）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点4 翻折、旋转问题中的最值（一）（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题二 体积法 微点2 体积法（二）【基础版】
名校
2 . 如图在平行六面体
中，
，
，则
的长是_________ ．
中，，，则的长是
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2023-11-10更新
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316次组卷
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5卷引用：重庆市第八中学校2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题
重庆市第八中学校2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）突破1.1 空间向量及其运算（重难点突破）（已下线）第1讲 空间向量及其运算 （2）广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省深圳市深圳外国语学校高中园2023-2024学年高二上学期学段（一）数学试题
名校
3 . 已知空间向量
，空间向量
满足
且
，则＝（ ）
，空间向量满足且，则＝（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2024-04-01更新
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218次组卷
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9卷引用：重庆市天星桥中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题
重庆市天星桥中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题广东省广州市三中、四中、南武、培正中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题广东省广州市（广雅，执信，省实，二中）四校联考2021-2022学年高二上学期期中数学试题2023版 北师大版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十单元 空间直角坐标系、空间向量与向量运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示B卷广东省东莞市光明中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）四川省成都石室阳安学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）专题03 空间向量的坐标与空间直角坐标系5种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)（已下线）期中考试押题卷（考试范围：第6-7章）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）
名校
解题方法
4 . 二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知
，
，
，
，则该二面角的大小为（ ）
，，，，则该二面角的大小为（ ）| A．45° | B．60° | C．90° | D．120° |
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2022-11-28更新
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345次组卷
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3卷引用：重庆市第七中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题
重庆市第七中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何（单元测试）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）广东省东莞市弘林高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（A）
12-13高二上·宁夏银川·期末
名校
解题方法
5 . 如图，
的二面角的棱上有
，
两点，直线
，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
已知，，，则
的长为__________
的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为
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2023-10-08更新
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753次组卷
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42卷引用：重庆市青木关中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题
重庆市青木关中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题（已下线）2011—2012学年度宁夏银川一中高二上学期期末考试理科数学试卷2014-2015学年山东青岛平度市三校高二上学期期末考试理科数学试卷2016-2017学年湖北省重点高中联考协作体高二下学期期中考试数学（理）试卷北京市第101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题安徽师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题【校级联考】山西省芮城县2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题河北省邢台市第二中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题江西省新余市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题（已下线）【新教材精创】11.5综合复习习题课(2）练习(1）（已下线）【新东方】杭州新东方高中数学试卷322辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考数学试题山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试题广东省珠海市第二中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题（已下线）1.1.3 空间向量的数量积运算-2020-2021学年高二数学课时同步练（人教A版选择性必修第一册）天津市新华中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题辽宁省沈阳市市级重点协作校2021-2022学年上学期高二数学期中联考数学试题河北省博野中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期第二次质量检测数学试题黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题广东省广州市八十九中2022-2023学年高二上学期期中数学试题广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期阶段（一）数学试题湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题沪教版(2020) 一轮复习 堂堂清 第八单元 8.10 空间向量在立体几何中的应用（二）内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题河南省商丘市宁陵县高级中学2023-2024学年高二上学期第一次考试数学试题重庆市第八中学校2022-2023学年高二上学期期中复习数学试题黑龙江省大庆市东风中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题海南省海口市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题广东省惠州市实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题内蒙古呼和浩特市第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题广东省云浮市罗定市罗定中学城东学校2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题重庆市字水中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题内蒙古呼和浩特市内蒙古师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题江西省宜春市万载县赣西外国语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（A卷）内蒙古自治区赤峰市赤峰学院附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）期末真题必刷常考60题（32个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）广东省珠海市大湾区2023-2024学年高二上学期1月期末联合考试数学试题湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期开学自主检测数学试题
名校
6 . 在棱长为1的正方体
中，点E为底面
内一动点，则
的取值范围是（ ）
中，点E为底面内一动点，则的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2021-10-21更新
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937次组卷
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9卷引用：重庆市第一中学2021-2022学年高二上学期11月月考数学试题
重庆市第一中学2021-2022学年高二上学期11月月考数学试题重庆市青木关中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题重庆市清华中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题新疆喀什莎车县第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题苏教版(2019) 选修第二册 名师精选 第六章 第一单元 空间向量及其运算、空间向量的坐标表示 B卷河南省新乡市原阳县第一高级中学2021-2022学年高二上学期12月数学（文）试题吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题重庆市永川区永川北山中学校2022年高二上学期期中数学试题（已下线）吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题
21-22高二上·全国·单元测试
名校
7 . 已知点
，则
在
上的投影向量的长度为________ .
，则在上的投影向量的长度为
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2021-09-02更新
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2010次组卷
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13卷引用：重庆市青木关中学2021-2022学年高二上学期第一次月考检测（10月）数学试题
重庆市青木关中学2021-2022学年高二上学期第一次月考检测（10月）数学试题重庆市凤鸣山中学2023届高三上学期12月月考数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何单元检测（知识达标卷）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）河北省任丘市第一中学2021-2022学年高二上学期阶段考试（一）数学试题河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题苏教版(2019) 选修第二册 名师精选 第六章 空间向量与立体几何河南省鹤壁市浚县浚县第一中学2021-2022学年高一下学期7月月考数学试题重庆实验外国语学校2022-2023学年高二上学期九月检测数学试题第一章 空间向量与立体几何 讲核心02（已下线）第09讲 空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类（1）（已下线）第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（7大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）江西省南昌市铁路第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题重庆市万州区部分重点校2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学试题
名校
8 . 已知平行六面体，
，
，
，
，设
，
，
；
（1）试用
、
、
表示
；
（2）求的长度.
，，，，，设，，；（1）试用
、、表示；（2）求
的长度.
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2021-07-26更新
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1233次组卷
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13卷引用：重庆市第七中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
重庆市第七中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题福建省厦门集美中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题黑龙江省双鸭山市第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）1.2空间向量基本定理（专题强化卷）-2021-2022学年高二数学课堂精选（人教版A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题04 《空间向量与立体几何》综合测试卷 - 2021-2022高二上学期数学新教材配套提升训练（人教A2019选择性必修第一册）广东省深圳市沙井中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题广东省中山市华侨中学2021-2022学年高二上学期第一次段考数学试题浙江省绍兴蕺山外国语学校2022-2023学年高二上学期10月检测数学试题山东省淄博市桓台县桓台第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题山东省日照市国开中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题江西省南昌市第十中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）第02讲 空间向量基本定理（5大考点8种解题方法）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）四川省内江市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
名校
9 . 如图，在正方体中，
、
、
分别为、
、
的中点，则（ ）
中，、、分别为、、的中点，则（ ）A． | B． 平面 |
C． | D．向量 与向量 的夹角是 |
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2021-04-29更新
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1012次组卷
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5卷引用：重庆市青木关中学2021-2022学年高二上学期第一次月考检测（10月）数学试题
重庆市青木关中学2021-2022学年高二上学期第一次月考检测（10月）数学试题山东省泰安市2021届高三二模数学试题（已下线）第1章 空间向量与立体几何 章末测试（基础）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）江苏省江都中学 2021-2022 学年高二下学期阶段数学试题甘肃省武威市古浪县第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
10 . 在棱长为1的正四面体中，点
满足
，点
满足
，当
最短时，
（ ）
中，点满足，点满足，当最短时，（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-04-19更新
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3672次组卷
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15卷引用：重庆市第七中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
重庆市第七中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义-2020-2021学年高一数学课时同步练（人教A版必修4）（已下线）专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）1.1.2 空间向量的数量积运算（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.1 空间向量与运算-2021-2022学年高二数学同步速效提升练（人教A版2019选择性必修第一册）【学科网名师堂】山东省烟台市莱州市第一中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题宁夏青铜峡市高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题（已下线）专题1.3 空间向量与立体几何 章末检测3（难）-【满分计划】2021-2022学年高二数学阶段性复习测试卷（人教A版2019选择性必修第一册）湖北省部分重点中学2021-2022学年高二下学期4月联考数学试题广东省湛江市第四中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题山东省莱州市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学试题湖南省衡阳市祁东县育贤中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题江西省景德镇一中2022-2023学年高二（19班）上学期期中考试数学试题贵州省六盘水市第一中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题
