1 . n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.

2 . 如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ．

(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC．

3 . 如图，是正方形，平面，，

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，证明你的结论

4 . 如图，在三棱柱中，边长为的正方形，，

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．

5 . 如图：已知四棱柱的底面ABCD是菱形，=，且.

（1）试用表示，并求；
（2）求证：；
（3）试判断直线与平面是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．

6 . 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，在线段分别取四点且．求：

(1)证明；;
(2)的长；
(3)直线与平面所成角的余弦值．

7 . 如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点．

(1)设，请以向量表示；
(2)求证：平面平面．

8 . 如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥．

9 . 如图，在平行六面体中，，，．用向量法解下列问题：

(1)求长度；
(2)求证：；
(3)若点M，N分别在直线和上运动，当且时（MN为公垂线段，这样的MN只有一条），求MN的长度．

10 . 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，，为的中点，点在上，且．

(1)证明：平面；
(2)若，点为上的动点，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．