2024·全国·模拟预测
1 . 在直三棱柱中,已知,,为的中点,点在上,若平面,则三棱锥的外接球的表面积为______ .
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2 . 假设视网膜为一个平面,光在空气中不折射,眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图,地面内有圆,其圆心在线段上,且与线段交于不与重合的点,地面,且,点为人眼所在处,视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明,这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹(令为曲线)为椭圆或圆,且由于小孔成像,曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的,则当视网膜平面上的圆的影像为圆时,圆的半径为____________ . 当圆的半径满足时,视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为____________ .
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3 . 长方体中,,点是线段上异于的动点,记.当为钝角时,实数的取值范围是______ ;当点到直线的距离为时,的值为______ .
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4 . 已知空间向量,,,均为单位向量,且与夹角为,与夹角为,则的最大值为______ .
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5 . 已知是空间单位向量,,若空间向量满足,,且对于任意,都有(其中),则______ .
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6 . 如图,在长方体中,为棱的中点,点是侧面上的动点,满足,给出下列四个结论:
①动点的轨迹是一段圆弧;
②动点的轨迹长度为;
③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点;
④三棱锥的体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是__________ .
①动点的轨迹是一段圆弧;
②动点的轨迹长度为;
③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点;
④三棱锥的体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是
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7 . 已知正方体的棱长为1,,则的最大值是____________ .
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8 . 已知,是空间单位向量,,若空间向量满足,,且对于任意,,(,),则______ ,______ .
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9 . 若正三棱锥的底面边长为6,高为,动点P满足,则的最小值为__________ .
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10 . 空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面点法式方程为,经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为,阅读上面的材料并解决下面问题:若空间直线的方程是,直线是两个平面与的交线,则直线夹角为______ .
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