1 . 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点．

(1)求证：平面；
(2)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．

2 . 如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，
   
(1)求证；
(2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值．

3 . 如图，四棱锥中，为等腰直角三角形，四边形为菱形， ，，E，F分别为CD，PD的中点，平面平面．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．

4 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面，M为PC的中点.

(1)求证：平面；
(2)求MD与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)设点N在线段PB上，且，PA的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由.

5 . 如图，在四面体中，底面ABC是边长为1的正三角形，，点P在底面ABC上的射影为H， ，二面角的正切值为．

(1)求证：；
(2)求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

6 . 如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

7 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.
   
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.

8 . 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小；
(3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值．

9 . 如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．

   

(1)若，求该几何体的体积；
(2)若AE垂直PD于E，证明：；
(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且，为棱的中点.
   
(1)求证：平而；
(2)设平面与棱交于点，求的值.