名校
解题方法
1 . 如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的中点.
(1)证明：
：
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值：
(3)若
为棱上一点，
且满足
，求二面角
的余弦值.
中，底面，，，，，点为棱的中点.(1)证明：
：(2)求直线
与平面所成角的正弦值：(3)若
为棱上一点，且满足，求二面角的余弦值.
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2023-03-30更新
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1042次组卷
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2卷引用：天津市第一中学2023届高三下学期第五次月考数学试题
2 . 如图，在多面体
中，底面为菱形，
平面，
平面
．
(1)求证：
平面
；(2)求直线
与平面
所成角的正弦值：(3)求平面
和平面的夹角的余弦值．
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2022-11-10更新
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810次组卷
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3卷引用：天津市南开区2022-2023学年高三上学期11月阶段性质量监测(一)数学试题
22-23高二上·北京海淀·期中
解题方法
3 . 已知三棱锥
（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为
的正方形，
和
均为正三角形.在三棱锥中：
(1)求点
到平面
的距离；
(2)若点
在棱上，满足
，点
在棱
上，且
，求
的取值范围.
（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形.在三棱锥中：(1)求点
到平面的距离；(2)若点
在棱上，满足，点在棱上，且，求的取值范围.
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名校
解题方法
4 . 在棱长为2的正方体
中，、、
分别为
，
，
的中点，则下列选项正确的是（ ）．
中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（ ）．A． |
B．直线 与 所成角的余弦值为 |
C．三棱锥 的体积为 |
D．存在实数 、 使得 |
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2022-11-08更新
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616次组卷
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13卷引用：广东省东莞市第四高级中学2023届高三上学期9月月考数学试题
广东省东莞市第四高级中学2023届高三上学期9月月考数学试题福建省厦门外国语学校2023届高三上学期第一次月考数学试题山东省东营市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题辽宁省大连部分重点高中2022-2023学年高二上学期10月月考数学试卷山西省晋城一中教育集团南岭爱物学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题广东省广州市八十九中2022-2023学年高二上学期期中数学试题山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题山东省青岛市青岛第二中学分校2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）综合测试卷（基础版）-【新教材优创】突破满分数学之2022-2023学年高二数学重难点突破+课时训练 （人教A版2019选择性必修第一册）辽宁省沈阳市第十五中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段测试数学试题江苏省无锡市市北高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省广州市培英中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
名校
5 . 已知正方体的棱长为2，为线段
的中点，
，其中，
，则下列选项正确的是（ ）
的棱长为2，为线段的中点，，其中，，则下列选项正确的是（ ）A． 时， |
B． 时， 的最小值为 |
C． 时，直线 与面 的交点轨迹长度为 |
D．时，与平面 所成的角不可能为 |
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21-22高二上·北京丰台·期末
名校
6 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E为棱PD的中点，，
．
(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求平面ACE与平面PAB夹角的余弦值；
(3)若F为棱PC的中点，则棱PA上是否存在一点G，使得PC⊥平面EFG．若存在，求线段AG的长；若不存在，请说明理由．
中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E为棱PD的中点，，．(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求平面ACE与平面PAB夹角的余弦值；
(3)若F为棱PC的中点，则棱PA上是否存在一点G，使得PC⊥平面EFG．若存在，求线段AG的长；若不存在，请说明理由．
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2022-11-07更新
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857次组卷
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6卷引用：模拟卷06
（已下线）模拟卷06北京市丰台区2021-2022学年高二上学期期末数学练习试题北京市第一七一中学2022-2023学年高二上学期期中调研数学试题北京市第八十中学2022-2023学年高二上学期适应性考试数学试题陕西省延安市2023-2024学年高二上学期阶段性学习效果评估(二)数学试题（已下线）期中真题必刷压轴60题（18个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
7 . 如图，在四棱锥
中，
底面，底面四边形为菱形且
，
，为
的中点，为的中点.
(1)证明：直线
平面
；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(3)求点
到平面的距离.
中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点.(1)证明：直线
平面；(2)求异面直线
与所成角的余弦值；(3)求点
到平面的距离.
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2022-11-07更新
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980次组卷
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3卷引用：重庆市实验中学校2023届高三上学期期中数学试题
22-23高二上·天津南开·期中
名校
解题方法
8 . 为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设
，
，O为底面ABCD的中心，正四棱柱
与正四棱柱
分别代表电梯井与电梯厢，设
，M为棱
的中点，N，K分别为棱，
上的点，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面所成角的正弦值；
(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO2的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面
与平面重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．
，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设，，O为底面ABCD的中心，正四棱柱与正四棱柱分别代表电梯井与电梯厢，设，M为棱的中点，N，K分别为棱，上的点，，．(1)求证：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO2的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面
与平面重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．
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2022-11-06更新
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346次组卷
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4卷引用：第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】
（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】天津市南开中学2022-2023学年高二上学期阶段性质量检测(一)数学试题1.4空间向量的应用（已下线）期中真题必刷压轴60题（18个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）
2022高三·全国·专题练习
解题方法
9 . 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于4，点E是棱DD1的中点．
(1)求直线A1E与直线B1C所成的角；
(2)若底面ABCD上的点P满足PD1⊥平面A1EC1，求线段DP的长度．
(1)求直线A1E与直线B1C所成的角；
(2)若底面ABCD上的点P满足PD1⊥平面A1EC1，求线段DP的长度．
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2022高三·全国·专题练习
名校
解题方法
10 . 如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．
(1)求证：平面BDE∥平面B1D1F；
(2)连结B1D，求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．
(1)求证：平面BDE∥平面B1D1F；
(2)连结B1D，求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．
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