名校
1 . 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和直线族
的包络曲线
；
(3)在（2）的条件下，过曲线上
两点作曲线的切线
，其交点为
.已知点
，若
三点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆
是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点
不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线
上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
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2024-04-12更新
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1306次组卷
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2卷引用：湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题
名校
2 . 已知集合
（
）.对于
，
，定义
；
（
）；
与
之间的距离为
.
(1)当
时，设
，
.若
，求
；
(2)证明：若
，且
，使
，则
；
(3)记
.若
，且
，求
的最大值.
（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为.(1)当
时，设，.若，求；(2)证明：若
，且，使，则；(3)记
.若，且，求的最大值.
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解题方法
3 . 已知双曲线
的离心率为
，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为
．
(1)求双曲线C的标准方程：
(2)设
，
，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线
和
分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．
的离心率为，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的标准方程：
(2)设
，，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线和分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．
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解题方法
4 . 如图，在平面直角坐标系
中，已知双曲线
：
的右焦点为
，左、右顶点分别为
，
，过
且斜率不为0的直线
与
的左、右两支分别交于、
两点，与的两条渐近线分别交于
、两点（从左到右依次为、、、），记以
为直径的圆为圆
．
(1)当与圆相切时，求
；
(2)求证：直线
与直线
的交点
在圆内．
中，已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．(1)当
与圆相切时，求；(2)求证：直线
与直线的交点在圆内．
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5 . 已知直线
过抛物线
的焦点，且与交于两点.过两点分别作的切线，设两条切线交于
点，线段
的中点为
.若
，则
__________ ；
面积的最小值为__________ .
过抛物线的焦点，且与交于两点.过两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段的中点为.若，则面积的最小值为
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6 . 设
是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点在所在的平面内，记
与
的面积分别为
，
，且
．当
，且
时，
_________ ；记
，则实数
的取值范围为_________ ．
是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时，，则实数的取值范围为
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2024-01-25更新
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814次组卷
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4卷引用：2024届福建省厦门市一模考试数学试题
2024届福建省厦门市一模考试数学试题2024届河南省信阳市浉河区信阳高级中学二模数学试题（已下线）2.3.2 双曲线的性质(二十二大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）河南省漯河市高级中学2024届高三下学期3月检测数学试题（一）
7 . 在平面直角坐标系中，已知点
，点满足
．记的轨迹为
．
(1)求的方程；
(2)已知直线
，若点
关于直线的对称点（与不重合）在上，求实数
的值；
(3)设直线
的斜率为
，且与有两个不同的交点，设
，直线
与的另一个交点为，直线
与的另一个交点为，若点
和点
三点共线，求实数的值．
中，已知点，点满足．记的轨迹为．(1)求
的方程；(2)已知直线
，若点关于直线的对称点（与不重合）在上，求实数的值；(3)设直线
的斜率为，且与有两个不同的交点，设，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若点和点三点共线，求实数的值．
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名校
解题方法
8 . 已知双曲线
上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线C的离心率为
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知M是直线
上一点，直线
交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线
的平行线l，l与直线
交于点P，与x轴交于点Q，若P为线段
的中点，求实数t的值.
上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线C的离心率为.(1)求双曲线C的方程；
(2)已知M是直线
上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线的平行线l，l与直线交于点P，与x轴交于点Q，若P为线段的中点，求实数t的值.
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2023-11-14更新
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874次组卷
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3卷引用：江苏省泰州市姜堰中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题
9 . 平面直角坐标系中，为动点，与直线
垂直，垂足位于第一象限，
与直线
垂直，垂足位于第四象限，
且
，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点
，
，设点
与点关于原点对称，
的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为
，交于另一点，求
的最大值.
中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.(1)求
的方程；(2)已知点
，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
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10 . 定义向量
，其中
，
，若存在实数t，使得对任意的正整数
，都有
成立，则x的最小值是______ .
，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数，都有成立，则x的最小值是
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2023-09-09更新
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548次组卷
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3卷引用：浙江省名校协作体2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
浙江省名校协作体2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题（已下线）第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）
