1 . 已知动圆
过定点
且与直线
相切，记圆心的轨迹为曲线
．
(1)已知
、
两点的坐标分别为
、
，直线
、
的斜率分别为
、
，证明：
；
(2)若点
、
是轨迹上的两个动点且
，设线段
的中点为
，圆与动点的轨迹
交于不同于
的三点
、
、
，求证：
的重心的横坐标为定值．
过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知
、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点
、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．
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解题方法
2 . 已知抛物线
，点
在抛物线上，且在
轴上方，和在轴下方（在左侧），
关于轴对称，直线
交轴于点
，延长线段
交轴于点，连接
.
(1)证明：
为定值（
为坐标原点）；
(2)若点的横坐标为
，且
，求
的内切圆的方程.
，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.(1)证明：
为定值（为坐标原点）；(2)若点
的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
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2024-04-12更新
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1262次组卷
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3卷引用：2024届浙江省丽水、湖州、衢州三地市二模数学试卷
3 . 如图，已知抛物线
，其上有定点
，
，动点在抛物线上，且点位于点A，B之间的曲线段上（不与点，重合），过点作直线的垂线，垂足为.
(1)若点是
的中点，求点的坐标.
(2)求证：
无最大值.
，其上有定点，，动点在抛物线上，且点位于点A，B之间的曲线段上（不与点，重合），过点作直线的垂线，垂足为.(1)若点
是的中点，求点的坐标.(2)求证：
无最大值.
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4 . 已知椭圆E：
的左、右焦点分别为
，
，点M在椭圆E外，线段
与E相交于P，满足
，点T在线段
上，
，且
.
(1)若点P的坐标为
，证明：
；
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)在曲线C上是否存在点N，使得
的面积为
，若存在，求
的正切值，若不存在请说明理由.
的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E外，线段与E相交于P，满足，点T在线段上，，且.(1)若点P的坐标为
，证明：；(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)在曲线C上是否存在点N，使得
的面积为，若存在，求的正切值，若不存在请说明理由.
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解题方法
5 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，过点
的动直线
交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，
的周长为
，直线
与交于另一点，直线
与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面
平面
，求异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)若过
作
，垂足为
.
（i）证明:直线
过定点；
（ii）求
的最大值.
的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过
作，垂足为.（i）证明:直线
过定点；（ii）求
的最大值.
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解题方法
6 . 已知抛物线：
，焦点为，过作
轴的垂线
，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线
，
，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：
的外接圆过定点；
(3)求
面积
的最小值．
：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．(1)若
，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；(2)证明：
的外接圆过定点；(3)求
面积的最小值．
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2024-03-03更新
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826次组卷
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2卷引用：江苏省常州市金坛区2024届高三下学期调研测试（零模）数学试题
解题方法
7 . 抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
是抛物线上位于第一象限的一点，过作
（其中
）的两条切线，分别交抛物线于点
，过原点作直线的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求定圆方程
的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．(1)求抛物线
的方程；(2)设
是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求定圆方程
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8 . 已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，
两点，四边形
为矩形，且面积为
．
(1)求四边形的外接圆方程；
(2)设，为的左、右顶点，直线过点
与交于，两点（异于，），直线与
交于点
，证明：点在定直线上．
（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为．(1)求四边形
的外接圆方程；(2)设
，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上．
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解题方法
9 . 已知长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，动点满足
，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若与轴非负半轴交于点，过点作与以点
为圆心，
为半径的圆相切的直线，，且，分别交于点M，N，证明：直线过定点.
的两个端点和分别在轴和轴上滑动，动点满足，记点的轨迹为曲线.(1)求
的方程；(2)若
与轴非负半轴交于点，过点作与以点为圆心，为半径的圆相切的直线，，且，分别交于点M，N，证明：直线过定点.
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10 . 已知抛物线 ，M为直线
上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.
（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；
（2）证明：以为直径的圆恒过点M.
，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；
（2）证明：以
为直径的圆恒过点M.
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2019-06-04更新
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1241次组卷
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2卷引用：四川省绵阳市南山中学实验学校2024届高三上学期“二诊”模拟数学（文）试题
