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解题方法
1 . 在平面直角坐标系中,一动圆经过点且与直线相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线,是曲线上一点.
(1)求曲线的方程;
(2)设是轴左侧(不含轴)上一点,在曲线上存在不同的两点,满足的中点均在曲线上,设的中点为,证明:;
(3)过点且斜率为的直线与曲线交于两点,若且直线与直线交于点,求证:为定值.
(1)求曲线的方程;
(2)设是轴左侧(不含轴)上一点,在曲线上存在不同的两点,满足的中点均在曲线上,设的中点为,证明:;
(3)过点且斜率为的直线与曲线交于两点,若且直线与直线交于点,求证:为定值.
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2 . 在平面直角坐标系xOy中,已知点E(0,2),以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M,N(异于原点O),MN恰为该圆的直径,过点E作直线交抛物线与A,B两点,过A,B两点分别作拋物线C的切线交于点P.
(1)求证∶点P的纵坐标为定值;
(2)若F是抛物线C的焦点,证明∶∠PFA=∠PFB.
(1)求证∶点P的纵坐标为定值;
(2)若F是抛物线C的焦点,证明∶∠PFA=∠PFB.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
3 . 已知抛物线,过点的直线与抛物线相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与相交于,两点,为上任意一点且直线,与直线分别交于,两点.求证:直线,的斜率之积是定值.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与相交于,两点,为上任意一点且直线,与直线分别交于,两点.求证:直线,的斜率之积是定值.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
4 . 如图,已知抛物线,其焦点为,其准线与轴交于点,以为直径的圆交抛物线于点,连接并延长交抛物线于点,且.(1)求的方程.
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点,若抛物线上存在点,,使得.求证:直线过定点.
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点,若抛物线上存在点,,使得.求证:直线过定点.
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解题方法
5 . 已知定点,动点在直线上,过点作的垂线,该垂线与的垂直平分线交于点,记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)已知点,动点在上,满足,且与轴不垂直.请从①在上;②三点共线;③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
注:如果选择不同的组合分别解答,按第一个解答计分.
(1)求的方程;
(2)已知点,动点在上,满足,且与轴不垂直.请从①在上;②三点共线;③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
注:如果选择不同的组合分别解答,按第一个解答计分.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 在平面直角坐标系中,已知圆心为点的动圆恒过点,且与直线相切,设动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过轴上点的直线与相切于点,过且垂直于的直线交于两点,为线段的中点,证明:直线过定点.
(1)求曲线的方程;
(2)过轴上点的直线与相切于点,过且垂直于的直线交于两点,为线段的中点,证明:直线过定点.
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解题方法
7 . 已知抛物线上任意一点满足的最小值为1(为焦点).
(1)求的方程;
(2)过点的直线经过点且与抛物线交于两点,请探索三者之间的关系,并证明.
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2024高三·全国·专题练习
8 . 已知点在抛物线上,点是抛物线上的两个动点,直线与的倾斜角互补.
(1)求抛物线的方程和直线的斜率;
(2)设的外接圆为圆,过点作抛物线的切线,证明:直线与圆相切.
(1)求抛物线的方程和直线的斜率;
(2)设的外接圆为圆,过点作抛物线的切线,证明:直线与圆相切.
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2024·全国·模拟预测
9 . 已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点,抛物线与椭圆在第一象限的公共点的横坐标为.
(1)求抛物线与椭圆的标准方程;
(2)若分别是椭圆的左、右顶点,是椭圆上不同于的两点,直线的斜率是直线的斜率的3倍,证明:直线过定点,并求出定点的坐标.
(1)求抛物线与椭圆的标准方程;
(2)若分别是椭圆的左、右顶点,是椭圆上不同于的两点,直线的斜率是直线的斜率的3倍,证明:直线过定点,并求出定点的坐标.
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10 . 已知抛物线的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点,坐标原点为中点,求证:;
(3)是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,说明理由.
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