1 . 在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
为直线
上一点，动点
满足 
，
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若过点
作直线与交于不同的两点
，点
，过点
作
轴的垂线分别与直线
交于点
.证明：
为线段
的中点.
为坐标原点，为直线上一点，动点满足 ，.(1)求动点
的轨迹的方程;(2)若过点
作直线与交于不同的两点，点，过点作轴的垂线分别与直线交于点.证明：为线段的中点.
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解题方法
2 . 如图所示，在棱长为1的正方体
中，点
为截面
上的动点，若
，则点的轨迹长度是（ ）
中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A． | B． | C． | D．1 |
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2024-03-07更新
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1642次组卷
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3卷引用：山东省潍坊市2024届高三一模数学试题
名校
解题方法
3 . 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足
，若
，则该多面体的表面积为__________ ，点N轨迹的长度为__________ ．
，若，则该多面体的表面积为
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2023-10-08更新
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679次组卷
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17卷引用：山东省青州市2022届高三下学期打靶题数学试题
山东省青州市2022届高三下学期打靶题数学试题山东省临沂市2021届高三二模考试数学试题山东省聊城第一中学2021届高三高考冲刺预测数学打靶卷试题（三）全国2021届高三高考数学考前冲刺试题（一）安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期最后一卷理科数学试题湖南省四大名校名师团队2022届高三下学期高考猜题卷(A)数学试题江苏省常州市戚墅堰高级中学2023届高三下学期3月一模模拟数学试题辽宁省抚顺德才高级中学2023届高三硬核提分（五）数学试题江苏省南通市2020-2021学年高一下学期5月期末模拟测试数学试题（已下线）第07练 九种外接球与内切球模型-2022年【暑假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第二册）上海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考数学试题（已下线）微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题福建省福州市闽侯县第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题江苏省苏州市黄埭中学 2024届高三上学期12月阶段性练习数学试题北京市海淀区人大附中2024届高三下学期寒假自主复习检测数学试题（已下线）第三章 空间轨迹问题 专题三 立体几何轨迹长度问题 微点2 立体几何轨迹长度问题综合训练【培优版】（已下线）数学（广东专用01，新题型结构）
4 . 如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆
上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为__________ .
上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为
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名校
5 . 已知正方体的棱长为1，空间一动点满足
，且
，则
______ ，点的轨迹围成的封闭图形的面积为______ ．
的棱长为1，空间一动点满足，且，则的轨迹围成的封闭图形的面积为
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2022-05-26更新
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1363次组卷
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5卷引用：山东省潍坊市2022届高三下学期三模统考（5月）数学试题
山东省潍坊市2022届高三下学期三模统考（5月）数学试题江西省景德镇一中2021-2022学年高一（19班）下学期期末考数学试题（已下线）专题22 立体几何中的轨迹问题-2（已下线）第04讲 空间直线、平面的垂直 (练）（已下线）微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题
名校
6 . 如图，在棱长为
的正方体中，点是平面
内一个动点，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是（ ）A． |
| B．点的轨迹是一个半径为的圆 |
C．直线 与平面所成角为 |
D．三棱锥 体积的最大值为 |
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2022-04-08更新
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1876次组卷
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7卷引用：山东省潍坊市2022届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题
山东省潍坊市2022届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题黑龙江省佳木斯市第八中学2023届高三第四次教学质量检测数学试题（已下线）临考押题卷06-2022年高考数学临考押题卷(新高考卷)（已下线）临考押题卷02-2022年高考数学临考押题卷(新高考卷)（已下线）2022年高考考前最后一课-数学（正式版）-【考前预测篇1】热点试题精做重庆市实验中学校2021-2022学年高一下学期期末复习（三）数学试题湖南师范大学附属中学2024届高三上学期摸底考试数学试题
7 . 已知圆与圆
：
外切，同时与圆
：
内切.
(1)说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
(2)设动点的轨迹是曲线，直线
：
与曲线交于，
两点，点是线段
上任意一点（不包含端点），直线
过点，且与曲线交于，两点，若
为定值，证明：
.
与圆：外切，同时与圆：内切.(1)说明动点
的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；(2)设动点
的轨迹是曲线，直线：与曲线交于，两点，点是线段上任意一点（不包含端点），直线过点，且与曲线交于，两点，若为定值，证明：.
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2022-04-04更新
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1301次组卷
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2卷引用：2022届山东省潍坊市高三下学期5月模拟数学试题（一）
8 . 如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，
，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）
，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）A．当 时，存在点P满足 |
B．当时，存在唯一的点P满足 |
C．当时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为 |
D．当 时，满足的点P轨迹长度为 |
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2022-02-27更新
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4708次组卷
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9卷引用：山东省安丘市青云学府2023届高三下学期一模数学试题
山东省安丘市青云学府2023届高三下学期一模数学试题广东省深圳市2022届高三下学期一模数学试题江苏省南京市第五高级中学2022届高三下学期一模数学试题湖南省常德市临澧县第一中学2022届高三下学期一模数学试题湖南省永州市第一中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试题（已下线）押新高考第12题 立体几何-备战2022年高考数学临考题号押题（新高考专用）（已下线）重难点09五种空间向量与立体几何数学思想-1黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题专题18平面解析几何（多选题）
名校
解题方法
9 . 在四棱锥
中，
平面
，
，点是矩形内（含边界）的动点，且
，
，直线
与平面所成的角为
.记点的轨迹长度为
，则
______ ；当三棱锥
的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为______ .
中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为.记点的轨迹长度为，则的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为
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2020-05-06更新
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1002次组卷
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7卷引用：山东省潍坊高密市2020届高三模拟数学试题二
山东省潍坊高密市2020届高三模拟数学试题二普通高等学校招生国统一考试 2020-2021学年高三上学期数学（理）考向卷（八）江西省百所名校2019-2020学年高三第四次联考数学（理）试题（已下线）2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练（39）江苏省扬州中学2021-2022学年高三下学期3月月考数学试题 江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高二下学期6月适应性考试数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题六 几何体的外接球、棱切球、内切球 微点3 圆柱、直三棱柱及其切割体模型【基础版】
10 . 在棱长为2的正方体中，是
内（不含边界）的一个动点，若
，则线段
的长的取值范围为_____ .
中，是内（不含边界）的一个动点，若，则线段的长的取值范围为
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